Questão 1 ( 5 pontos) 1. Calcule a transformada de Fourier das funções:
(a) f(x)=\chi_{\left[-\frac{a}{\pi}, \frac{a}{\pi}\right]} \cos (a x).
(b) g(x)=f(a x).
(c) g(x)=x f(x) e g(x)=x^{2} f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de algumas variações da função
f(x)=\chi_{\left[-\frac{a}{\pi},\frac{a}{\pi}\right]}(x)\,\cos(a x).
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Fourier unidimensional
\mathcal F\{h(x)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\,e^{-i\omega x}\,dx
e suas propriedades de escala e de derivação em frequência. Para resolver vamos:
  1. calcular diretamente \mathcal F\{f\}(\omega),
  2. usar a propriedade de escala para \,g(x)=f(a x),
  3. usar a propriedade da derivada para x\,f(x) e x^2\,f(x).

Passo 2

Primeiro obtém-mos
F(\omega)=\mathcal F\{f\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\chi_{\left[-\frac{a}{\pi},\frac{a}{\pi}\right]}(x)\cos(a x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\int_{-L}^{L}\cos(a x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde definimos L=\tfrac{a}{\pi}.

Passo 3

Escrevendo \cos(a x)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{i a x}+e^{-i a x}\bigr), temos
F(\omega) =\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}e^{i(a-\omega)x}\,dx +\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}e^{-i(a+\omega)x}\,dx.
Cada integral é do tipo \int_{-L}^{L}e^{i\alpha x}dx=2\,\frac{\sin(\alpha L)}{\alpha}.

Passo 4

Logo
F(\omega) =\frac{\sin\bigl((a-\omega)L\bigr)}{a-\omega} +\frac{\sin\bigl((a+\omega)L\bigr)}{a+\omega},
com L=\tfrac{a}{\pi}.

Passo 5

Para g(x)=f(a x) a propriedade de escala dá
\mathcal F\{f(a x)\}(\omega) =\frac{1}{|a|}\,F\Bigl(\frac{\omega}{a}\Bigr).

Passo 6

Para h(x)=x\,f(x) e k(x)=x^2\,f(x) usamos a propriedade de derivada:
\mathcal F\{x\,f(x)\}(\omega) =i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega), \qquad \mathcal F\{x^2\,f(x)\}(\omega) =-\frac{d^2}{d\omega^2}F(\omega).

Resposta

(a)
\mathcal F\{f\}(\omega) =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a-\omega)}{\pi}\bigr)}{a-\omega} +\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a+\omega)}{\pi}\bigr)}{a+\omega}.
(b)
\mathcal F\{f(a x)\}(\omega) =\frac{1}{|a|}\, \biggl[ \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a\bigl(a-\tfrac{\omega}{a}\bigr)}{\pi}\bigr)}{\,a-\tfrac{\omega}{a}\,} +\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a\bigl(a+\tfrac{\omega}{a}\bigr)}{\pi}\bigr)}{\,a+\tfrac{\omega}{a}\,} \biggr].
(c)
\mathcal F\{x\,f(x)\}(\omega) =i\,\frac{d}{d\omega} \Biggl[ \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a-\omega)}{\pi}\bigr)}{a-\omega} +\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a+\omega)}{\pi}\bigr)}{a+\omega} \Biggr],
\mathcal F\{x^2\,f(x)\}(\omega) =-\frac{d^2}{d\omega^2} \Biggl[ \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a-\omega)}{\pi}\bigr)}{a-\omega} +\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a(a+\omega)}{\pi}\bigr)}{a+\omega} \Biggr].

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