Nos problemas abaixo, resolva os problemas de valor de contorno dados
y^{\prime \prime}+y=0 ; y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(\pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor de contorno
y'' + y = 0,
com condições de contorno
y'(0)=0,\quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja solução é
r = \pm i.
Logo, a solução geral da EDO é
y(x) = A\cos(x) + B\sin(x),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = -A\sin(x) + B\cos(x).

Passo 4

Impondo a condição y'(0)=0,
y'(0) = -A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0
Logo,
B = 0.

Passo 5

Com B=0, a solução torna-se y(x)=A\cos(x) e
y'(x) = -A\sin(x).
Agora impomos y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0:
y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -A\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -A = 0
Logo,
A = 0.

Passo 6

Encontramos A = B = 0. Portanto, a única solução que satisfaz todas as condições de contorno é a solução trivial.

Resposta

y(x) \equiv 0.

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