Problema 4 (2 pontos): Mostre que a equação
\ln x=2-x
Tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado que a equação é \ln x = 2 - x.
  • Pergunta: mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz real.
  • Informação implícita importante: a função \ln x só está definida para x>0, portanto só faz sentido procurar soluções em x>0.

Passo 2

Transformar a equação em uma igualdade do tipo f(x)=0, que é mais cômodo para estudar existência de raízes.
f(x)=\ln x - (2-x)=\ln x + x -2.
Explicando devagar: a equação \ln x = 2 - x é equivalente a f(x)=0, porque basta subtrair 2-x dos dois lados. Aqui f está definida sempre que \ln x está definida, ou seja, para x>0.

Passo 3

Mostrar que f é contínua no intervalo onde vamos trabalhar.
  • A função x\mapsto \ln x é contínua em (0,\infty).
  • A função x\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Soma de funções contínuas é contínua.
    Portanto f(x)=\ln x + x -2 é contínua em (0,\infty). Isso permite usar teoremas que garantem existência de raízes quando houver troca de sinal.

Passo 4

Achar dois pontos em (0,\infty) onde f toma sinais opostos (isso vai permitir aplicar o Teorema do Valor Intermediário).
Calcule f(1):
f(1)=\ln 1 + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1.
Logo f(1)=-1<0.
Calcule f(e) (aqui e é a base dos logaritmos naturais, com e\approx2{,}718\ldots):
f(e)=\ln e + e - 2 = 1 + e - 2 = e - 1.
E como e>2, segue que e-1>1>0. Então f(e)>0.
Assim f(1)<0 e f(e)>0: há troca de sinal entre x=1 e x=e.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
O TVI diz: se g é contínua num intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Aqui f é contínua em [1,e]\subset(0,\infty) e f(1)f(e)<0. Portanto, pelo TVI, existe c\in(1,e) tal que f\text{(c)}=0. Em palavras: existe c\in(1,e) com \ln c = 2 - c. Isso prova que existe pelo menos uma raiz real.

Passo 6

Comentário adicional (útil para prova de unicidade, não exigido pelo enunciado mas didático).
Calcule a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x + x -2\bigr)=\frac{1}{x}+1.
Para x>0 tem-se \dfrac{1}{x}>0, então \dfrac{1}{x}+1>0. Logo f'(x)>0 em (0,\infty), isto é, f é estritamente crescente em (0,\infty). Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, portanto a raiz que encontramos em (1,e) é única.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real; mais precisamente há x\in(1,e) tal que \ln x = 2 - x. Além disso essa raiz é única.

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