Problema 4 (2 pontos): Mostre que a equação
Tem pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado que a equação é
. - Pergunta: mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz real.
- Informação implícita importante: a função
só está definida para , portanto só faz sentido procurar soluções em .
Passo 2
Transformar a equação em uma igualdade do tipo
, que é mais cômodo para estudar existência de raízes.
Explicando devagar: a equação
é equivalente a
, porque basta subtrair
dos dois lados. Aqui
está definida sempre que
está definida, ou seja, para
.
Passo 3
Mostrar que
é contínua no intervalo onde vamos trabalhar.
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em todo . - Soma de funções contínuas é contínua.
Portantoé contínua em . Isso permite usar teoremas que garantem existência de raízes quando houver troca de sinal.
Passo 4
Achar dois pontos em
onde
toma sinais opostos (isso vai permitir aplicar o Teorema do Valor Intermediário).
Calcule :
Calcule
Logo
.
Calcule
(aqui
é a base dos logaritmos naturais, com
):
E como
, segue que
. Então
.
Assim
e
: há troca de sinal entre
e
.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
O TVI diz: se é contínua num intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
.
O TVI diz: se
Aqui
é contínua em
e
. Portanto, pelo TVI, existe
tal que
. Em palavras: existe
com
. Isso prova que existe pelo menos uma raiz real.
Passo 6
Comentário adicional (útil para prova de unicidade, não exigido pelo enunciado mas didático).
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
Para
tem-se
, então
. Logo
em
, isto é,
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, portanto a raiz que encontramos em
é única.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real; mais precisamente há
tal que
. Além disso essa raiz é única.