Problema 3 (2 pontos): Seja
f(x)= \begin{cases}x^{3}, & \text { se } x<0 \\\ \operatorname{sen} x, & \text { se } x \geq 0\end{cases}
  • Determine se a função f é continua em x=0 e se o limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}
existe.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}x^{3}, & \text{se } x<0, \\[4pt] \sin x, & \text{se } x\ge 0,\end{cases}
e pede duas coisas:
  • verificar se f é contínua em x=0;
  • verificar se existe o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
  • Para x<0 vale f(x)=x^3.
  • Para x\ge 0 vale f(x)=\sin x.
  • Do ramo x\ge 0 obtemos f(0)=\sin 0=0. Portanto, nas expressões abaixo podemos usar f(0)=0.]

Passo 2

Primeiro recordar o que significa ser contínua em x=0.
Definição (explicada): a função f é contínua em x=0 se e somente se
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0).
Isto é, os limites laterais existem e são iguais entre si e ao valor da função no ponto.
Vamos calcular as duas limites laterais e comparar com f(0)=0.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to 0^-):
Para x<0 temos f(x)=x^3. Então
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} x^3 = 0,
porque x^3 é uma função polinomial contínua e x^3\to 0 quando x\to 0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita ( x\to 0^+):
Para x\ge 0 temos f(x)=\sin x. Sabemos (propriedade básica da função \sin) que
\lim_{x\to 0} \sin x = 0.
Uma justificativa simples é usar que |\sin x|\le |x| para todo x, e como |x|\to 0 quando x\to 0, pela regra do confronto (squeeze) segue que \sin x\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\sin x = 0.

Passo 5

Conclusão sobre continuidade:
Encontramos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,\qquad f(0)=0.
Como os limites laterais existem e coincidem com f(0), a função f é contínua em x=0.

Passo 6

Agora analisar o limite
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Como f(0)=0, isto é equivalente a
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}.
Novamente é preciso estudar os limites laterais.

Passo 7

Limite pela esquerda ( x\to 0^-):
Para x<0 temos f(x)=x^3, então
\frac{f(x)}{x}=\frac{x^3}{x}=x^2 \quad\text{(para }x<0\text{)}.
Logo
\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-} x^2 = 0.

Passo 8

Limite pela direita ( x\to 0^+):
Para x>0 temos f(x)=\sin x, então
\frac{f(x)}{x}=\frac{\sin x}{x}\quad\text{(para }x>0\text{)}.
É um limite clássico que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Uma breve justificativa: para 0<x usam-se desigualdades trigonométricas que levam a \cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1; como \cos x\to 1 quando x\to 0, pelo squeeze segue \dfrac{\sin x}{x}\to 1. Portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=1.

Passo 9

Comparando os limites laterais do quociente:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=1.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
não existe. Observação útil: esse limite é exatamente o quociente que define a derivada f'(0) se o limite existisse; portanto f não é diferenciável em 0.

Passo 10

Recapitulando em linguagem direta e motivadora: a função se comporta de forma igual (valor zero) chegando de ambos os lados em 0, por isso é contínua em 0. Mas o quociente \dfrac{f(x)-f(0)}{x} se aproxima de 0 vindo da esquerda e de 1 vindo da direita, então não há um único valor limite — a derivada na origem não existe. Força aí, isso é um exemplo clássico que mostra que continuidade não garante diferenciabilidade!

Resposta

f é contínua em x=0.\nO limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} não existe.

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