Problema 3 (2 pontos): Seja
- Determine se a função
é continua em
e se o limite
existe.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
e pede duas coisas:
- verificar se
é contínua em ; - verificar se existe o limite
.
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
- Para
vale . - Para
vale . - Do ramo
obtemos . Portanto, nas expressões abaixo podemos usar .]
Passo 2
Primeiro recordar o que significa ser contínua em
.
Definição (explicada): a função
é contínua em
se e somente se
Isto é, os limites laterais existem e são iguais entre si e ao valor da função no ponto.
Vamos calcular as duas limites laterais e comparar com
.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda (
):
Para
temos
. Então
porque
é uma função polinomial contínua e
quando
.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita (
):
Para
temos
. Sabemos (propriedade básica da função
) que
Uma justificativa simples é usar que
para todo
, e como
quando
, pela regra do confronto (squeeze) segue que
. Portanto
Passo 5
Conclusão sobre continuidade:
Encontramos
Como os limites laterais existem e coincidem com
, a função
é contínua em
.
Passo 6
Agora analisar o limite
Como
, isto é equivalente a
Novamente é preciso estudar os limites laterais.
Passo 7
Limite pela esquerda (
):
Para
temos
, então
Logo
Passo 8
Limite pela direita (
):
Para
temos
, então
É um limite clássico que
Uma breve justificativa: para
usam-se desigualdades trigonométricas que levam a
; como
quando
, pelo squeeze segue
. Portanto
Passo 9
Comparando os limites laterais do quociente:
-
. -
.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral
não existe. Observação útil: esse limite é exatamente o quociente que define a derivada
se o limite existisse; portanto
não é diferenciável em
.
Passo 10
Recapitulando em linguagem direta e motivadora: a função se comporta de forma igual (valor zero) chegando de ambos os lados em
, por isso é contínua em
. Mas o quociente
se aproxima de
vindo da esquerda e de
vindo da direita, então não há um único valor limite — a derivada na origem não existe. Força aí, isso é um exemplo clássico que mostra que continuidade não garante diferenciabilidade!