Questāo 5 (2 pontos): Calcule a área da região A que é o conjunto de todos (x, y) tais que x>0 e x \leq y \leq 5-4 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região A formada por todos os pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
x>0
e
x \le y \le 5 - 4x^{2}.
Informações dadas e o que precisa ser determinado:
  • A região é delimitada por duas curvas no plano: a reta y=x (que serve de limite inferior) e a parábola y=5-4x^{2} (limite superior).
  • Há ainda a condição x>0 (somente a parte da direita do eixo y é considerada).
  • A pergunta é: qual é a área dessa região A?

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber o intervalo em x onde faz sentido ter x \le y \le 5-4x^{2}. Igualamos as duas expressões para y:
x = 5 - 4x^{2}.
Colocando todos os termos no mesmo lado obtemos a equação quadrática
4x^{2} + x - 5 = 0.
Vou resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 1 - 4\cdot 4\cdot(-5) = 1 + 80 = 81.
Como \Delta = 81, a raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=9. As raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{8}.
Isso dá duas soluções:
x = \frac{-1+9}{8} = \frac{8}{8} = 1
e
x = \frac{-1-9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}.

Passo 3

Interpretando as interseções com a condição x>0:
  • A interseção em x = -\dfrac{5}{4} fica fora da região porque -\dfrac{5}{4} < 0.
  • A interseção em x = 1 é relevante e marca onde as curvas se encontram no semiplano x>0.
Agora é preciso verificar para quais x>0 temos realmente x \le 5-4x^{2}. Teste rápido: em x=0 tem 0 \le 5 (ok); em x=2 tem 2 \le 5-16=-11 (não ok). Assim o conjunto de x>0 com x \le 5-4x^{2} é exatamente o intervalo
0 < x \le 1.
Para calcular a área podemos integrar em x desde x=0 até x=1. (A abertura em x=0 não altera a área pois um ponto isolado tem medida zero.)

Passo 4

Explicar a fórmula usada: a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) sobre um intervalo [a,b] em x é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui:
  • y_{\text{top}}(x)=5-4x^{2} é a curva superior (maior y);
  • y_{\text{bot}}(x)=x é a curva inferior (menor y);
  • o intervalo em x é a=0 até b=1.
Portanto configuramos a integral
\text{Área}(A)=\int_{0}^{1}\bigl((5-4x^{2})-x\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(5 - x - 4x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular primitiva termo a termo. Para integrar polinômios lembramos as regras básicas:
  • \displaystyle \int c\,dx = c x para constante c.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando isso a cada termo:
\int 5\,dx = 5x, \qquad \int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2}, \qquad \int (-4x^{2})\,dx = -4\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{4x^{3}}{3}.
Logo uma primitiva da função integranda é
F(x)=5x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 0 a 1 usando F:
\text{Área}(A)=F(1)-F(0).Á
Calcule F(1):
F(1)=5\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2} - \frac{4\cdot 1^{3}}{3} = 5 - \frac{1}{2} - \frac{4}{3}.
Calcule F(0)=0. Agora somamos as parcelas com denominador comum 6:
5 = \frac{30}{6},\quad \frac{1}{2}=\frac{3}{6},\quad \frac{4}{3}=\frac{8}{6},
então
\text{Área}(A)=\frac{30}{6}-\frac{3}{6}-\frac{8}{6}=\frac{19}{6}.Á

Passo 7

Verificação rápida de consistência: a área é positiva e do tamanho esperado (aproximadamente 3{,}166\ldots). A integral foi feita sobre o intervalo [0,1] onde realmente y_{\text{top}}\ge y_{\text{bot}}, então o procedimento está correto.

Resposta

\dfrac{19}{6}

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