Questāo 5 (2 pontos): Calcule a área da região
que é o conjunto de todos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região
formada por todos os pontos
que satisfazem simultaneamente
e
Informações dadas e o que precisa ser determinado:
- A região é delimitada por duas curvas no plano: a reta
(que serve de limite inferior) e a parábola (limite superior). - Há ainda a condição
(somente a parte da direita do eixo é considerada). - A pergunta é: qual é a área dessa região
?
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber o intervalo em
onde faz sentido ter
. Igualamos as duas expressões para
:
Colocando todos os termos no mesmo lado obtemos a equação quadrática
Vou resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A discriminante é
Como
, a raiz quadrada é
. As raízes são
Isso dá duas soluções:
e
Passo 3
Interpretando as interseções com a condição
:
- A interseção em
fica fora da região porque . - A interseção em
é relevante e marca onde as curvas se encontram no semiplano .
Agora é preciso verificar para quais
temos realmente
. Teste rápido: em
tem
(ok); em
tem
(não ok). Assim o conjunto de
com
é exatamente o intervalo
Para calcular a área podemos integrar em
desde
até
. (A abertura em
não altera a área pois um ponto isolado tem medida zero.)
Passo 4
Explicar a fórmula usada: a área entre duas curvas
e
sobre um intervalo
em
é dada por
Aqui:
-
é a curva superior (maior ); -
é a curva inferior (menor ); - o intervalo em
é até .
Portanto configuramos a integral
Passo 5
Calcular primitiva termo a termo. Para integrar polinômios lembramos as regras básicas:
-
para constante . -
para .
Aplicando isso a cada termo:
Logo uma primitiva da função integranda é
Passo 6
Avaliar a integral definida de
a
usando
:
Calcule
:
Calcule
. Agora somamos as parcelas com denominador comum
:
então
Passo 7
Verificação rápida de consistência: a área é positiva e do tamanho esperado (aproximadamente
). A integral foi feita sobre o intervalo
onde realmente
, então o procedimento está correto.