Problema 1 (2 pontos). Resolva, em (0,+\infty), o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+\frac{1}{x} y=\operatorname{sen} x \\\ y(\pi)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI de primeira ordem
y' + \frac{1}{x}\,y = \sin x,\quad y(\pi)=1.
Esse é um caso de equação linear, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln x) = x.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
x\,y' + y = x\sin x.
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y, ou seja,
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\sin x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x\,y)\,dx = \int x\sin x\,dx.
No lado direito, por integração por partes,
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
Logo,
x\,y = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(\pi)=1:
1 = -\cos\pi + \frac{\sin\pi}{\pi} + \frac{C}{\pi} = -(-1) + 0 + \frac{C}{\pi} = 1 + \frac{C}{\pi},
o que implica C=0.

Resposta

A solução do PVI em (0,+\infty) é
y(x) = -\cos x + \frac{\sin x}{x}.

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