Problema 3 ( 2 pontos). Encontre uma solução particular da equação
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=10 x^{3}+2
(Sug: não é necessário usar variação dos parâmetros; procure uma solução polinomial.)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler–Cauchy não homogeneizada
x^{2}y'' + 2xy' - 2y = 10x^{3} + 2
e sugere buscar uma solução particular polinomial. Como o lado direito é 10x^{3} + 2, vamos tentar uma combinação de termos x^{3} e constante.

Passo 2

Proponha uma parte de y_{p} do tipo
y_{p1} = A\,x^{3}.
Então
y_{p1}' = 3A\,x^{2}, \quad y_{p1}'' = 6A\,x.
Substituindo na equação diferencial:
x^{2}(6A\,x) + 2x(3A\,x^{2}) - 2(A\,x^{3}) = 6A\,x^{3} + 6A\,x^{3} - 2A\,x^{3} = 10A\,x^{3}.
Para igualar a 10x^{3}, basta ter 10A = 10, ou seja
A = 1.

Passo 3

Proponha agora a parte constante
y_{p2} = B.
y_{p2}'=0 e y_{p2}''=0, e a equação vira
-2B = 2
para igualar o termo constante do lado direito. Logo
B = -1.

Passo 4

A solução particular geral é a soma das duas partes:
y_{p} = y_{p1} + y_{p2} = x^{3} - 1.

Resposta

A solução particular é
y_{p}(x) = x^{3} - 1.

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