Problema 2 (3 pontos). Faça os itens a seguir:
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0.
(b) Encontre uma solução particular da equação y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=10 \operatorname{sen} x.
(c) Resolva o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=10 \operatorname{sen} x \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação
y'' + 4y' + 3y = 10\operatorname{sen} x:
(a) a solução geral da homogênea correspondente;
(b) uma solução particular da equação completa;
(c) a solução do PVI com y(0)=2 e y'(0)=1.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 4y' + 3y = 0.
Montamos a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0
cujos raízes são r=-1 e r=-3. Logo a solução geral da homogênea é
y_c = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Usamos coeficientes indeterminados para buscar
y_p = A\cos x + B\operatorname{sen} x.
Então
y_p' = -A\operatorname{sen} x + B\cos x, \quad y_p'' = -A\cos x - B\operatorname{sen} x.
Substituindo em y''+4y'+3y e igualando a 10\operatorname{sen} x
(-A + 4B + 3A)\cos x +(-B -4A +3B)\operatorname{sen} x = 0\cos x + 10\operatorname{sen} x,
isto é
2A + 4B = 0, \quad 2B - 4A = 10.
Resolvendo, B=1 e A=-2. Portanto
y_p = -2\cos x + \operatorname{sen} x.

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y = y_c + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} -2\cos x + \operatorname{sen} x.

Passo 5

Impondo y(0)=2 e y'(0)=1: \,y(0)=C_1+C_2 -2 = 2 C_1+C_2=4.
Como
y'(x) = -C_1 e^{-x} -3C_2 e^{-3x} +2\operatorname{sen} x + \cos x
têm-se y'(0)=-C_1-3C_2+1=1, isto é C_1+3C_2=0.
Resolvendo, C_1=6 e C_2=-2.

Resposta

(a) \displaystyle y_c = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.
(b) \displaystyle y_p = -2\cos x + \operatorname{sen} x.
(c) \displaystyle y(x) = 6e^{-x} -2e^{-3x} -2\cos x + \operatorname{sen} x.

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