Problema 2 (3 pontos). Faça os itens a seguir:
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea
.
(b) Encontre uma solução particular da equação
.
(c) Resolva o PVI
.
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea
(b) Encontre uma solução particular da equação
(c) Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação
(a) a solução geral da homogênea correspondente;
(b) uma solução particular da equação completa;
(c) a solução do PVI com e
.
(b) uma solução particular da equação completa;
(c) a solução do PVI com
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Montamos a equação característica
cujos raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Usamos coeficientes indeterminados para buscar
Então
Substituindo em
e igualando a
dá
isto é
Resolvendo,
e
. Portanto
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Passo 5
Impondo
e
:
dá
.
Como
Como
têm-se
, isto é
.
Resolvendo, e
.
Resolvendo,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)