Questāo 4 (2 pontos): Calcule a integral definida da função
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida da função
no intervalo
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo de integração é
. - A presença de
implica que será necessário tratar a integral em partes, dependendo do sinal de no intervalo.
Passo 2
Identificar onde
é negativo, zero ou positivo em
.
-
. -
. -
. -
.
Com esses valores percebe-se o padrão de sinais:
em
,
em
e
, e
em
. Portanto a expressão
pode ser escrita em forma peça‑a‑peça:
Passo 3
Usar a linearidade da integral e separar a integral em duas partes conforme a definição peça‑a‑peça:
Substituindo a forma de
em cada intervalo:
Passo 4
Calcular antiderivadas (lembrando fórmulas básicas):
-
, logo . -
, logo . - Consequentemente,
Passo 5
Avaliar a primeira integral
usando a antiderivada
:
Portanto
Passo 6
Avaliar a segunda integral
usando a antiderivada
:
Portanto
Passo 7
Somar as duas contribuições:
Observação didática curta: a função
não é diferenciável em
, mas isso não impede a integração — a integral definida só exige integrabilidade (que aqui é satisfeita), por isso a separação em intervalos com antiderivadas funciona perfeitamente.