Questāo 4 (2 pontos): Calcule a integral definida da função f(x)=\cos x+|\sin x| no intervalo [-\pi / 2, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida da função f(x)=\cos x+|\sin x| no intervalo [-\pi/2,\pi]. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos x+|\sin x|.
  • O intervalo de integração é [-\pi/2,\pi].
  • A presença de |\sin x| implica que será necessário tratar a integral em partes, dependendo do sinal de \sin x no intervalo.

Passo 2

Identificar onde \sin x é negativo, zero ou positivo em [-\pi/2,\pi].
  • \sin(-\pi/2)=-1.
  • \sin(0)=0.
  • \sin(\pi/2)=1.
  • \sin(\pi)=0.
Com esses valores percebe-se o padrão de sinais: \sin x<0 em (-\pi/2,0), \sin x=0 em x=0 e x=\pi, e \sin x>0 em (0,\pi). Portanto a expressão |\sin x| pode ser escrita em forma peça‑a‑peça:
|\sin x| = \begin{cases} -\sin x, & x\in[-\pi/2,0],\\[4pt] \sin x, & x\in[0,\pi]. \end{cases}]

Passo 3

Usar a linearidade da integral e separar a integral em duas partes conforme a definição peça‑a‑peça:
\int_{-\pi/2}^{\pi}(\cos x+|\sin x|)\,dx = \int_{-\pi/2}^{0}(\cos x+|\sin x|)\,dx + \int_{0}^{\pi}(\cos x+|\sin x|)\,dx.
Substituindo a forma de |\sin x| em cada intervalo:
\int_{-\pi/2}^{0}(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{0}^{\pi}(\cos x + \sin x)\,dx.

Passo 4

Calcular antiderivadas (lembrando fórmulas básicas):
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, logo \displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x + C.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, logo \displaystyle \int -\sin x\,dx=\cos x + C.
  • Consequentemente,
\int(\cos x - \sin x)\,dx = \sin x + \cos x + C, \qquad \int(\cos x + \sin x)\,dx = \sin x - \cos x + C.

Passo 5

Avaliar a primeira integral \displaystyle \int_{-\pi/2}^{0}(\cos x - \sin x)\,dx usando a antiderivada F_1(x)=\sin x+\cos x:
F_1(0)=\sin 0+\cos 0 = 0+1=1, \qquad F_1(-\pi/2)=\sin(-\pi/2)+\cos(-\pi/2) = -1+0=-1.
Portanto
\int_{-\pi/2}^{0}(\cos x - \sin x)\,dx = F_1(0)-F_1(-\pi/2) = 1-(-1)=2.

Passo 6

Avaliar a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\cos x + \sin x)\,dx usando a antiderivada F_2(x)=\sin x-\cos x:
F_2(\pi)=\sin \pi-\cos \pi = 0-(-1)=1, \qquad F_2(0)=\sin 0-\cos 0 = 0-1=-1.
Portanto
\int_{0}^{\pi}(\cos x + \sin x)\,dx = F_2(\pi)-F_2(0) = 1-(-1)=2.

Passo 7

Somar as duas contribuições:
\int_{-\pi/2}^{\pi}(\cos x+|\sin x|)\,dx = 2 + 2 = 4.
Observação didática curta: a função |\sin x| não é diferenciável em x=0, mas isso não impede a integração — a integral definida só exige integrabilidade (que aqui é satisfeita), por isso a separação em intervalos com antiderivadas funciona perfeitamente.

Resposta

4

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