Problema 5 (2 pontos): Sejam a e b dois números reais quaisquer com a neq b. Determine o seguinte limite:
lim x 0 e^a x-e^b xsen(a x)-sen(b x)

Passo 1

O enunciado dá dois reais a neq b e pede
limx to 0 e^ax - e^bxsen(ax) - sen(bx)
Aqui temos uma forma do tipo 0/0, pois quando x to 0 cada exponencial vale 1 e cada seno vale 0. Para resolver, vamos usar o teorema de L’Hôpital, que diz que se o limite é 0/0, podemos derivar numerador e denominador até obter uma forma determinada.

Passo 2

Confirmamos a forma indeterminada:
limx to 0 e^ax - e^bx = 1 - 1 = 0, limx to 0 sen(ax) - sen(bx) = 0 - 0 = 0
Logo dá para aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador:
ddxl(e^ax-e^bxr) = a,e^ax-b,e^bx
  • Denominador:
ddxl(sen(ax)-sen(bx)r) = acos(ax)-bcos(bx)

Passo 4

Agora avaliamos o novo quociente em xto0:
limxto0a,e^ax-b,e^bxacos(ax)-bcos(bx) =acdot1 - bcdot1acdot1 - bcdot1 =a-ba-b =1

Resposta

1

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