Problema 3 (2 pontos): Seja
f(x)=ll (x+1)^2-12, & se x<0 sen x, & se x >= 0
Determine se a função f é continua em x=0 e se o limite
lim x 0 f(x)-f(0)x
existe.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= dfrac(x+1)^2-12,&x<0,[6pt] sin x,&x>=0,
e pede (i) verificar continuidade em x=0 e (ii) analisar a existência do limite
limxto0f(x)-f(0)x
Para isso, vamos calcular f(0), os limites laterais de f em 0 e depois os limites laterais do quociente l(f(x)-f(0)r)/x.
]

Passo 2

Calculamos f(0) usando o ramo x>=0:
f(0)=sin 0=0

Passo 3

Para x<0, simplificamos
f(x)=(x+1)^2-12 =x^2+2x+1-12 =x^22+x
Logo
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(tfracx^22+xr) =0+0=0

Passo 4

Para x>0, usamos
limxto0^+f(x)=limxto0^+sin x=0

Passo 5

Como
limxto0^-f(x)=0=f(0) e limxto0^+f(x)=0=f(0),
concluímos que f é contínua em x=0.

Passo 6

Analisamos o limite à esquerda do quociente: para x<0,
f(x)-f(0)x =tfracx^22+x-0x =x^2/2x+xx =x2+1,
portanto
limxto0^-f(x)-f(0)x =limxto0^-l(tfracx2+1r) =1

Passo 7

Analisamos o limite à direita do quociente: para x>0,
f(x)-f(0)x =sin x-0x =sin xx,
e sabemos que
limxto0^+sin xx=1

Passo 8

Como os limites laterais do quociente coincidem e valem 1, o limite
limxto0f(x)-f(0)x
existe e é igual a 1.

Resposta

A função f é contínua em x=0 e
limxto0f(x)-f(0)x=1

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