Problema 3 (2 pontos): Seja
Determine se a função
é continua em
e se o limite
existe.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede (i) verificar continuidade em
x=0 e (ii) analisar a existência do limite
Para isso, vamos calcular
f(0) , os limites laterais de
f em
0 e depois os limites laterais do quociente
l(f(x)-f(0)r)/x .
]
]
Passo 2
Calculamos
f(0) usando o ramo
x>=0 :
Passo 3
Para
x<0 , simplificamos
Logo
Passo 4
Para
x>0 , usamos
Passo 5
Como
concluímos que
f é contínua em
x=0 .
Passo 6
Analisamos o limite à esquerda do quociente: para
x<0 ,
portanto
Passo 7
Analisamos o limite à direita do quociente: para
x>0 ,
e sabemos que
Passo 8
Como os limites laterais do quociente coincidem e valem
1 , o limite
existe e é igual a
1 .
Resposta
A função
f é contínua em
x=0 e