Problema - Nos problemas (16) a (19), demonstre as relações.
16) Use a série de Fourier para
abaixo para provar a identidade indicada. Dica: a função pode ser feita ímpar com uma translação no eixo vertical e corrigida no final.
16) Use a série de Fourier para
Passo 1
Vamos usar a série de Fourier para mostrar a identidade clássica de Leibniz. O conteúdo é expansão em senos de uma função ímpar periódica, e vamos precisar conhecer como obter os coeficientes da série de Fourier apenas com senos.
Passo 2
Definimos uma nova função ímpar removendo a média de f. Seja
. Note que em
, temos
e em
,
. Logo,
, ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Como
é ímpar, sua série de Fourier contém só senos:
onde
Passo 4
Na integral,
, então
Passo 5
Calculando essa integral,
Passo 6
Dessa forma, só os termos ímpares
sobrevivem, e
Passo 7
Logo
Passo 8
Voltando a
, avalie em
. Temos
, então
. Isso dá
Passo 9
Como
, obtemos
Passo 10
Cancelando
e isolando a soma, segue