Problema - Nos problemas (16) a (19), demonstre as relações.
16) Use a série de Fourier para f(x) abaixo para provar a identidade indicada. Dica: a função pode ser feita ímpar com uma translação no eixo vertical e corrigida no final.
& f(x)=cc 0, & -L

Passo 1

Vamos usar a série de Fourier para mostrar a identidade clássica de Leibniz. O conteúdo é expansão em senos de uma função ímpar periódica, e vamos precisar conhecer como obter os coeficientes da série de Fourier apenas com senos.

Passo 2

Definimos uma nova função ímpar removendo a média de f. Seja g(x)=f(x)-L/2. Note que em 0, temos g(x)=L/2 e em -L, g(x)=-L/2. Logo, g(-x)=-g(x), ou seja, g é ímpar.

Passo 3

Como g é ímpar, sua série de Fourier contém só senos:
g(x)=sumn=1^inftybnsinl(tfracnpi xLr),
onde
bn=2Lintegral0^Lg(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Na integral, g(x)=L/2, então
bn=2LcdotL2integral0^Lsinl(tfracnpi xLr)dx=integral0^Lsinl(tfracnpi xLr)dx

Passo 5

Calculando essa integral,
bn=-Lnpil[cosl(tfracnpi xLr)r]0^L=Lnpil(1-(-1)^nr)

Passo 6

Dessa forma, só os termos ímpares n=2k+1 sobrevivem, e
b2k+1=2L(2k+1)pi

Passo 7

Logo
g(x)=sumk=0^infty2L(2k+1)pisinl(tfrac(2k+1)pi xLr)

Passo 8

Voltando a f(x)=g(x)+L/2, avalie em x=L/2. Temos f(L/2)=L, então g(L/2)=L/2. Isso dá
L2=sumk=0^infty2L(2k+1)pisinl(tfrac(2k+1)pi2r)

Passo 9

Como sinl((2k+1)pi/2r)=(-1)^k, obtemos
L2=2Lpisumk=0^infty(-1)^k2k+1

Passo 10

Cancelando L e isolando a soma, segue
sumk=0^infty(-1)^k2k+1=pi4, que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

pi4=sumk=0^infty(-1)^k2k+1

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