Um sinal de rádio de 800 kHz é detectado a 9,1 \mathrm{~km} da torre de transmissão. A amplitude do campo elétrico neste ponto é 0,440 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Qual a potência total média emitida pela torre?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Frequência do sinal: 800\\ \mathrm{kHz} (não será necessária diretamente, está só informativa).
  • Distância entre a torre e o ponto de medição: r=9{,}1\\ \mathrm{km}.
  • Amplitude do campo elétrico no ponto: E_0=0{,}440\\ \mathrm{V/m}.
    O que se pede: a potência total média emitida pela torre (ou seja, a potência radiada para todas as direções).

Passo 2

Observação importante (assunção necessária): para determinar a potência total a partir da intensidade medida num ponto, é preciso saber como a torre irradia. Como o enunciado não diz o diagrama de radiação, vou assumir que a torre irradia de forma isotrópica (mesma intensidade em todas as direções). Se a antena tiver ganho direto (não isotrópica), a potência total seria menor do que o valor que vamos obter dividindo-se pela área de uma esfera. Sem essa informação não há outra forma de prosseguir, por isso usamos a hipótese isotrópica.

Passo 3

Vamos relacionar o campo elétrico medido com a intensidade média (fluxo de potência por unidade de área) da onda eletromagnética.
  • A definição instantânea do vetor de Poynting é \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}. Para uma onda plana em vácuo a magnitude instantânea é S(t)=E(t)H(t).
  • Em vácuo vale \mathbf{B}=\mathbf{E}/c e \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0. Usando isso pode-se mostrar (passo a passo): S(t)=E(t)\,H(t)=E(t)\,\frac{B(t)}{\mu_0}=E(t)\,\frac{E(t)}{c\mu_0}=\frac{E(t)^2}{c\mu_0}.
  • Para um campo senoidal E(t)=E_0\cos(\omega t) a média temporal de E(t)^2 é \langle E^2\rangle = E_0^2/2. Logo a intensidade média (valor médio do módulo do vetor de Poynting) é \langle S\rangle = \frac{1}{2}\frac{E_0^2}{c\mu_0}.
  • Introduzindo a impedância do espaço livre Z_0, que satisfaz Z_0=\mu_0 c\approx 377\\ \Omega, a expressão fica mais prática: \langle S\rangle = \frac{1}{2}\frac{E_0^2}{Z_0}.
Aqui:
  • \langle S\rangle é a intensidade média em \mathrm{W/m^2};
  • E_0 é a amplitude do campo elétrico em \mathrm{V/m};
  • Z_0 é a impedância do espaço livre em \Omega.

Passo 4

Calcular numericamente a intensidade média usando E_0=0{,}440\\ \mathrm{V/m} e Z_0=377\\ \Omega.
  • Primeiro E_0^2: E_0^2 = (0{,}440)^2 = 0{,}1936\\ \mathrm{(V/m)^2}.
  • Dividindo por Z_0: \frac{E_0^2}{Z_0}=\frac{0{,}1936}{377}\approx 0{,}0005136\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Tomando metade (fator 1/2): \langle S\rangle = \frac{1}{2}\cdot0{,}0005136 \approx 0{,}0002568\\ \mathrm{W/m^2}.
Em notação científica: \langle S\rangle \approx 2{,}568\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Agora convertendo a distância para metros e calculando a área da esfera onde essa intensidade é válida.
  • r=9{,}1\\ \mathrm{km}=9{,}1\times10^3\\ \mathrm{m}=9100\\ \mathrm{m}.
  • Área da esfera de raio r: A = 4\pi r^2.
  • Calcular r^2: r^2 = 9100^2 = 8{,}281\times10^{7}\\ \mathrm{m^2}.
  • Logo a área: A = 4\pi\cdot 8{,}281\times10^{7} \approx 1{,}0404\times10^{9}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Potência total média emitida P é intensidade média vezes a área (hipótese isotrópica):
P = \langle S\rangle \cdot A.
Substituindo os valores numéricos:
P \approx 2{,}568\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^2}\times 1{,}0404\times10^{9}\\ \mathrm{m^2}.
Fazendo a multiplicação:
P \approx 2{,}6715\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos:
P \approx 2{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{W},
ou seja aproximadamente 2{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{W}=267\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Comentário final e incentivo: esse valor representa a potência total sob a hipótese de irradiação isotrópica. Antenas reais têm ganho direcional, então a potência efetivamente entregue pela torre pode ser menor (mas concentrada numa direção). Você fez bem em trazer os dados essenciais — com essa técnica dá para estimar rapidamente a potência a partir do campo elétrico medido. Continue firme que está indo bem!

Resposta

P \approx 2{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{W}

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