Problema 1 (2.5 pts). Sejam p, q e r variáveis proposicionais. Suponha que r \Rightarrow \neg q. Prove que (p \wedge q) \Rightarrow \neg r.

Passo 1

O enunciado dá três variáveis proposicionais p, q e r e afirma a implicação
r \Rightarrow \neg q.
Queremos provar
(p \wedge q) \Rightarrow \neg r.
O conteúdo envolvido são as regras de implicação: contraposição, eliminação de conjunção, modus ponens e introdução de implicação (prova condicional).

Passo 2

Aplicamos a contraposição à implicação dada. Como uma implicação A\Rightarrow B é logicamente equivalente à sua contraposta \neg B\Rightarrow\neg A, de r \Rightarrow \neg q
segue
\neg(\neg q)\;\Rightarrow\;\neg r,
isto é,
q \;\Rightarrow\;\neg r.

Passo 3

Para usar q \Rightarrow \neg r dentro de (p \wedge q), note que de uma conjunção p\wedge q podemos eliminar p ou q. Em particular,
p \wedge q \;\Rightarrow\; q
(pela regra de eliminação de conjunção).

Passo 4

Agora, supondo p\wedge q, obtemos primeiro q (Passo 3) e em seguida, por modus ponens com q\Rightarrow\neg r (Passo 2), chegamos a \neg r.

Passo 5

Reunindo tudo em uma prova condicional: assumimos p\wedge q e derivamos \neg r. Então, pela regra de introdução de implicação, concluímos
(p \wedge q)\;\Rightarrow\;\neg r.

Resposta

(p \wedge q)\Rightarrow \neg r.

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