Problema 1 (2.5 pts). Sejam
,
e
variáveis proposicionais. Suponha que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá três variáveis proposicionais
,
e
e afirma a implicação
Queremos provar
O conteúdo envolvido são as regras de implicação: contraposição, eliminação de conjunção, modus ponens e introdução de implicação (prova condicional).
Passo 2
Aplicamos a contraposição à implicação dada. Como uma implicação
é logicamente equivalente à sua contraposta
, de
segue
segue
isto é,
Passo 3
Para usar
dentro de
, note que de uma conjunção
podemos eliminar
ou
. Em particular,
(pela regra de eliminação de conjunção).
Passo 4
Agora, supondo
, obtemos primeiro
(Passo 3) e em seguida, por modus ponens com
(Passo 2), chegamos a
Passo 5
Reunindo tudo em uma prova condicional: assumimos
e derivamos
. Então, pela regra de introdução de implicação, concluímos