Problema 4 (2.5 pts). Resolva a inequação
\frac{2-x}{x-3} \geq 1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2 - x}{x - 3} \ge 1.
Isso é uma inequação racional; vamos precisar definir o domínio, reunir tudo num único lado da desigualdade e estudar o sinal do quociente resultante.

Passo 2

Passamos tudo para o mesmo denominador. Subtraindo 1 de ambos os lados, fica
\frac{2 - x}{x - 3} - 1 \ge 0.
Usando denominador comum x - 3, obtemos
\frac{2 - x - (x - 3)}{x - 3} \ge 0.

Passo 3

Simplificando o numerador:
2 - x - x + 3 = 5 - 2x,
logo a inequação vira
\frac{5 - 2x}{x - 3} \ge 0.
O domínio exige x \neq 3. Os pontos críticos são a raiz do numerador 5 - 2x = 0, ou seja x = \tfrac{5}{2}, e o zero do denominador em x = 3.

Passo 4

Estudamos o sinal de \frac{5 - 2x}{x - 3} nos intervalos formados por x = \tfrac{5}{2} e x = 3:
Para x < \tfrac{5}{2}: numerador >0, denominador <0 ⇒ quociente negativo.
Em x = \tfrac{5}{2}: numerador =0, denominador \neq0 ⇒ quociente =0, satisfaz \ge0.
Para \tfrac{5}{2}<x<3: numerador <0, denominador <0 ⇒ quociente positivo.
Em x=3: expressão indefinida, excluído.
Para x>3: numerador <0, denominador >0 ⇒ quociente negativo.
Portanto a solução da inequação é
x \in \Bigl[\tfrac{5}{2},\,3\Bigr).

Resposta

\displaystyle \left[\frac{5}{2},3\right)

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