Problema 3 (2.5 pts). Seja f: X \rightarrow Y uma função e sejam V \subset Y e W \subset Y. Prove que
f^{-1}(V \cup W)=f^{-1}(V) \cup f^{-1}(W) .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para uma função f: X \to Y e quaisquer subconjuntos V,W \subset Y, vale
f^{-1}(V \cup W)\;=\;f^{-1}(V)\;\cup\;f^{-1}(W).
O conteúdo é teoria de conjuntos e definição de contraimagem (ou pré-imagem) de um conjunto por f, que é
f^{-1}(A)=\{\,x\in X\mid f(x)\in A\}.
Para igualar dois conjuntos costuma-se mostrar duas inclusões:
  1. f^{-1}(V\cup W)\subset f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W) e
  2. f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V\cup W).

Passo 2

Prova de f^{-1}(V\cup W)\subset f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W): seja x\in f^{-1}(V\cup W). Então, por definição, f(x)\in V\cup W. Logo
– ou f(x)\in V, o que implica x\in f^{-1}(V),
– ou f(x)\in W, o que implica x\in f^{-1}(W).
Em ambos os casos x\in f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W). Concluímos
f^{-1}(V\cup W)\subset f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W).

Passo 3

Prova de f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V\cup W): seja x\in f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W). Então
– se x\in f^{-1}(V), temos f(x)\in V\subset V\cup W, logo x\in f^{-1}(V\cup W),
– se x\in f^{-1}(W), temos f(x)\in W\subset V\cup W, logo x\in f^{-1}(V\cup W).
Em qualquer dos casos x\in f^{-1}(V\cup W), portanto
f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V\cup W).

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões mútuas, concluímos que
f^{-1}(V\cup W)\;=\;f^{-1}(V)\;\cup\;f^{-1}(W).

Resposta

f^{-1}(V \cup W)=f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W).

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