Problema 3 (2.5 pts). Seja
uma função e sejam
e
. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para uma função
e quaisquer subconjuntos
, vale
O conteúdo é teoria de conjuntos e definição de contraimagem (ou pré-imagem) de um conjunto por
, que é
Para igualar dois conjuntos costuma-se mostrar duas inclusões:
-
e -
.
Passo 2
Prova de
: seja
. Então, por definição,
. Logo
– ou , o que implica
,
– ou , o que implica
.
Em ambos os casos . Concluímos
– ou
– ou
Em ambos os casos
Passo 3
Prova de
: seja
. Então
– se , temos
, logo
,
– se , temos
, logo
.
Em qualquer dos casos , portanto
– se
– se
Em qualquer dos casos
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões mútuas, concluímos que