Problema
Um grão de poeira aproximadamente esférico de raio igual a
adquire uma carga negativa de tal modo que medidas posteriores mostram que o potencial eletrostático na superfície do grão vale
Volts.
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão de poeira? Considere que a carga de cada elétron é
.
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão de poeira? Considere que a carga de cada elétron é
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
- raio do grão:
. - potencial eletrostático na superfície:
. - carga elementar (de um elétron):
.
Perguntas:
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão?
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão?
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?
Passo 2
Conceito e fórmula útil para (a): para um condutor (ou grão aproximadamente esférico isolado) o potencial eletrostático na superfície, medido em relação ao infinito, é dado por
onde:
-
é a carga total do grão (em Coulombs); -
é o raio do grão (em metros); -
é a permissividade do vácuo, ; -
é a constante .
Isolando
obtemos a fórmula que usaremos:
Explicação rápida: essa fórmula vem do potencial de uma carga puntiforme (ou esfera carregada) visto na superfície; o sinal de
determina o sinal de
.
Passo 3
Cálculo da carga
usando números e mostrando contas passo a passo.
Primeiro calcule
:
Agora calcule
:
Multiplicando:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando de forma adequada (duas casas significativas, compatível com os dados):
Observação: o sinal negativo indica que o grão está carregado negativamente (excesso de elétrons).
Passo 4
Cálculo do número de elétrons em excesso (parte b).
O número de elétrons em excesso
é o módulo da carga total dividido pela carga de um elétron:
Substituindo
e
:
Como não existe fração de elétron, o número real de elétrons deve ser um inteiro. Portanto o grão capturou aproximadamente
elétrons a mais (ou, dependendo do arredondamento físico, poderia ser
, mas o arredondamento para o inteiro mais próximo é
).
Passo 5
Campo elétrico na superfície (parte c).
Para uma esfera carregada, o módulo do campo elétrico na superfície é dado por
Usamos
,
e
.
Cálculo:
Vamos organizar as potências de 10 e os fatores numéricos:
Multiplicando por
:
Direção: como
é negativo, o campo na superfície aponta radialmente para o centro da esfera (ou seja, dirigido para o interior do grão).