Problema 1 \quad(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t}) Um grão de poeira aproximadamente esférico de raio igual a 3 \times 10^{-7} \mathrm{~m} adquire uma carga negativa de tal modo que medidas posteriores mostram que o potencial eletrostático na superfície do grão vale -0,15 Volts.
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão de poeira? Considere que a carga de cada elétron é 1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}.
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • raio do grão: r = 3\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • potencial eletrostático na superfície: V_{\text{superf}} = -0{,}15\\ \mathrm{V}.
  • carga elementar (de um elétron): e = 1{,}6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Qual a carga do grão, em Coulombs?
(b) Quantos elétrons em excesso foram capturados pelo grão?
(c) Qual o valor da intensidade do campo elétrico na superfície do grão de poeira?

Passo 2

Conceito e fórmula útil para (a): para um condutor (ou grão aproximadamente esférico isolado) o potencial eletrostático na superfície, medido em relação ao infinito, é dado por
V_{\text{superf}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r},
onde:
  • Q é a carga total do grão (em Coulombs);
  • r é o raio do grão (em metros);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Isolando Q obtemos a fórmula que usaremos:
Q = 4\pi\varepsilon_0\,r\,V_{\text{superf}}.
Explicação rápida: essa fórmula vem do potencial de uma carga puntiforme (ou esfera carregada) visto na superfície; o sinal de V_{\text{superf}} determina o sinal de Q.

Passo 3

Cálculo da carga Q usando números e mostrando contas passo a passo.
Primeiro calcule 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi \times 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} \approx 1{,}112650056\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Agora calcule r\,V_{\text{superf}}:
r\,V_{\text{superf}} = \left(3\times10^{-7}\right)\times\left(-0{,}15\right) = -4{,}5\times10^{-8}\\ \mathrm{m\cdot V}.
Multiplicando:
Q = 4\pi\varepsilon_0\,r\,V_{\text{superf}} \approx \left(1{,}112650056\times10^{-10}\right)\times\left(-4{,}5\times10^{-8}\right).
Fazendo a multiplicação:
Q \approx -5{,}006925252\times10^{-18}\\ \mathrm{C}.
Arredondando de forma adequada (duas casas significativas, compatível com os dados):
Q \approx -5{,}01\times10^{-18}\\ \mathrm{C}.
Observação: o sinal negativo indica que o grão está carregado negativamente (excesso de elétrons).

Passo 4

Cálculo do número de elétrons em excesso (parte b).
O número de elétrons em excesso N é o módulo da carga total dividido pela carga de um elétron:
N = \frac{|Q|}{e}.
Substituindo |Q| \approx 5{,}0069\times10^{-18}\\ \mathrm{C} e e = 1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}:
N \approx \frac{5{,}0069\times10^{-18}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx 31{,}293.
Como não existe fração de elétron, o número real de elétrons deve ser um inteiro. Portanto o grão capturou aproximadamente 31 elétrons a mais (ou, dependendo do arredondamento físico, poderia ser 32, mas o arredondamento para o inteiro mais próximo é 31).

Passo 5

Campo elétrico na superfície (parte c).
Para uma esfera carregada, o módulo do campo elétrico na superfície é dado por
E_{\text{superf}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|Q|}{r^{2}} = k\,\frac{|Q|}{r^{2}}.
Usamos k \approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}, |Q|\approx 5{,}0069\times10^{-18}\\ \mathrm{C} e r^{2}=(3\times10^{-7})^{2}=9\times10^{-14}\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo:
E_{\text{superf}} \approx 8{,}99\times10^{9}\times\frac{5{,}0069\times10^{-18}}{9\times10^{-14}}.
Vamos organizar as potências de 10 e os fatores numéricos:
\frac{5{,}0069\times10^{-18}}{9\times10^{-14}} = \frac{5{,}0069}{9}\times10^{-4} \approx 0{,}55632\times10^{-4}=5{,}5632\times10^{-5}.
Multiplicando por 8{,}99\times10^{9}:
E_{\text{superf}} \approx 8{,}99\times10^{9}\times5{,}5632\times10^{-5} \approx 5{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como Q é negativo, o campo na superfície aponta radialmente para o centro da esfera (ou seja, dirigido para o interior do grão).

Resposta

-5{,}01\times10^{-18}\\ \mathrm{C}
31 elétrons em excesso
5{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (direção: para o interior do grão)

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