PROBLEMA 2(\mathbf{2}, \mathbf{5} \mathbf{~ p t}) Considere um cilindro fechado que contém uma distribuição linear de carga dada por \lambda(x)=\lambda_{o}(1-x / L), onde \lambda_{o} é uma constante positiva, com dimensões de \mathrm{C} / \mathrm{m}. O cilindro e a distribuição linear de carga se estendem de x=0 até x=L. O cilindro tem raio R<L.
(a) Esboce o vetor campo elétrico em alguns pontos da superfície do cilindro.
(b) Calcule o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro.
(c) Justifique, com suas próprias palavras, o uso da Lei de Gauss mesmo com L finito.
Passo 1
O enunciado dá uma barra linear de carga ao longo do eixo do cilindro, com densidade linear variável \lambda(x)=\lambda_{o}\bigl(1-\dfrac{x}{L}\bigr), definida para 0\le x\le L. O cilindro é fechado (tem superfície lateral e duas tampas) e se estende também de x=0 até x=L; o raio do cilindro é R com R<L. \n\nAs perguntas são: (a) esboçar o vetor campo elétrico em alguns pontos da superfície do cilindro; (b) calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro; (c) justificar, em palavras, o uso da Lei de Gauss mesmo com L finito. \n\nDados e informações relevantes que vou usar: \n- \lambda_{o}>0 (carga positiva concentrada ao longo do eixo). \n- A distribuição está ao longo do eixo de x=0 até x=L. \n- O cilindro é fechado e envolve completamente essa distribuição linear. \n- Constante elétrica do vácuo: \varepsilon_{0}. \n\n(A resolução começa a seguir.)
Passo 2
Entendendo qualitativamente o campo elétrico perto do cilindro (base física, para o esboço solicitado em (a)). Vou explicar passo a passo como pensar no campo de uma linha de carga e como isso se reflete na superfície: \n\n1) O campo elétrico gerado por cargas positivas aponta para fora, ou seja, “afastando-se” da linha de carga. Para qualquer pequeno elemento de carga na linha, o campo que ele produz em pontos fora do eixo tem uma componente radial (para longe do eixo) e uma componente ao longo do eixo (no sentido de aumentar ou diminuir x), dependendo da posição do elemento em relação ao ponto considerado. \n\n2) Por simetria axial (simetria de rotação em torno do eixo), não pode haver componente tangencial (circunferencial) do campo na superfície do cilindro: a única dependência angular desaparece. Logo, o campo na superfície tem apenas componentes radial e axial. \n\n3) Como a densidade \lambda(x) varia com x (maior perto de x=0 e menor perto de x=L), a distribuição não é simétrica em torno de um plano médio; portanto, em geral haverá uma componente axial do campo na superfície: o campo tende a “puxar” mais para o lado onde há mais carga. Em outras palavras, a componente axial do campo em um ponto da superfície fica inclinada em direção à região do eixo onde a densidade é maior (no nosso caso, em direção a x=0). \n\n4) Conclusão prática para o esboço pedido: sobre a superfície lateral do cilindro os vetores de campo são predominantemente radiais (apontando para fora do eixo), mas com uma inclinação axial que reflete a assimetria da densidade. Mais precisamente: próximos ao meio o campo tem grande componente radial; à medida que você se desloca ao longo de x a inclinação axial se faz notar e aponta na direção do lado com mais carga (tendendo para x=0). Nas tampas (superfícies nas extremidades x=0 e x=L) os vetores próximos ao centro apontam aproximadamente ao longo do eixo (para fora do cilindro) e, perto das bordas, as linhas de campo curvam-se ligando a componente radial. \n\nObservação pedagógica: para desenhar, imagine setas saindo do eixo para fora; gire essas setas levemente na direção de x=0 (lado de maior carga). No centro do cilindro você ainda verá setas quase perpendiculares ao eixo; perto das extremidades as setas se curvam e apresentam maior componente axial.
Passo 3
Apresentando a Lei de Gauss (a ferramenta que vamos usar para a parte (b)) e explicando o conceito de fluxo elétrico: \n\n1) Definição conceitual de fluxo: para um campo vetorial \mathbf{E} e uma superfície elementar com vetor área d\mathbf{A} (direção apontando para fora do volume fechado), o fluxo diferencial é \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. O fluxo total através de uma superfície fechada S é a integral de superfície \displaystyle \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. \n\n2) Enunciado da Lei de Gauss (forma integral, válida em eletrostática): \n\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado por S e \varepsilon_{0} é a constante elétrica do vácuo. \n\n3) Interpretação: a lei afirma que a integral do campo sobre uma superfície fechada depende somente da carga dentro dela, não dos detalhes da distribuição fora ou da forma da superfície. Isso é uma identidade resultante das equações de Maxwell em eletrostática. \n\n4) Observação prática: por isso é ótimo usar Gauss mesmo quando a distribuição não tem “simetria perfeita” — a lei vale sempre; porém, para encontrar \mathbf{E} ponto a ponto normalmente precisamos de simetrias. Aqui, a pergunta (b) pede o fluxo total pela superfície fechada, e esse é exatamente o caso em que Gauss facilita muito: não precisamos conhecer o campo detalhado em cada ponto, só a carga total dentro.
Passo 4
Calcular a carga total encerrada pelo cilindro, Q_{\text{enc}}. Vou integrar a densidade linear ao longo do eixo de x=0 a x=L. Mostro cada etapa da integral para você poder reproduzir na prova: \n\n1) A densidade linear é \lambda(x)=\lambda_{o}\bigl(1-\dfrac{x}{L}\bigr). Um elemento de carga em uma fatia de comprimento dx é dq=\lambda(x)\,dx. \n\n2) A carga total é a integral: \nQ_{\text{enc}}=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,dx=\int_{0}^{L}\lambda_{o}\Bigl(1-\dfrac{x}{L}\Bigr)\,dx. \n\n3) Integramos termo a termo. Primeiro escrevo a integral separada: \nQ_{\text{enc}}=\lambda_{o}\int_{0}^{L}1\,dx - \lambda_{o}\int_{0}^{L}\dfrac{x}{L}\,dx. \n\n4) Calcule cada parte: \displaystyle \int_{0}^{L}1\,dx = L. Para a segunda: \displaystyle \int_{0}^{L}\dfrac{x}{L}\,dx = \dfrac{1}{L}\cdot \dfrac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{L} = \dfrac{1}{L}\cdot \dfrac{L^{2}}{2} = \dfrac{L}{2}. \n\n5) Substituindo: \nQ_{\text{enc}}=\lambda_{o}\bigl(L - \tfrac{L}{2}\bigr)=\lambda_{o}\cdot \dfrac{L}{2}=\dfrac{\lambda_{o}L}{2}.
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss para obter o fluxo total através da superfície fechada do cilindro. \n\n1) Pela Lei de Gauss: \displaystyle \Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}. \n\n2) Substituindo o Q_{\text{enc}} que encontramos: \n\Phi=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot \dfrac{\lambda_{o}L}{2}=\dfrac{\lambda_{o}L}{2\varepsilon_{0}}. \n\n3) Comentário didático: o resultado não depende do raio R do cilindro nem do detalhe do campo em cada ponto — é só função da carga total dentro. Isso é típico de Gauss: o fluxo por uma superfície fechada depende apenas da carga interna.
Passo 6
Resposta em palavras da justificativa pedida em (c): por que é legítimo usar Gauss com L finito? (explicando como eu justificaria na prova) \n\n1) A Lei de Gauss é uma relação geral, derivada das equações de Maxwell (em particular do fato de que \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0} na eletrostática). Ela não exige que a distribuição de carga seja infinita ou simétrica; exige apenas que calculemos corretamente a carga contida no volume fechado pela superfície. \n\n2) No problema, todo o trecho de linha de carga de 0 a L está dentro do cilindro fechado; portanto toda a carga está encerrada. Assim a Lei de Gauss pode ser aplicada diretamente: o fluxo através da superfície fechada é exatamente a carga encerrada dividida por \varepsilon_{0}. \n\n3) Observação prática: embora Gauss nos dê o fluxo total, ela não nos fornece necessariamente \mathbf{E} ponto a ponto sem simetrias. Mas aqui a pergunta (b) é só sobre o fluxo total, então Gauss é a ferramenta correta e suficiente.
Resposta
(a) Vetores de campo na superfície lateral apontam majoritariamente radialmente para fora do eixo; além disso apresentam uma inclinação axial devido à variação de \lambda(x) (as setas se inclinam em direção à região de maior densidade, isto é, em direção a x=0). Nas tampas, perto do centro o campo aponta aproximadamente ao longo do eixo para fora e as linhas de campo se curvam na transição para a superfície lateral.
(b) \displaystyle \Phi=\dfrac{\lambda_{o}L}{2\varepsilon_{0}}.
(c) A Lei de Gauss é geral e vale para qualquer superfície fechada e qualquer distribuição de carga; como toda a carga da linha está contida no cilindro fechado, podemos aplicar diretamente \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0}.