Problema 1: O segundo coeficiente do virial, B, caracteriza-se por ser independente da pressão, mas apresenta uma forte influência da temperatura. Para o etano
, esta dependência entre 300 e 400 K è aproximadamente:
Dois moles de etano são comprimidos em um aparato cilindro-pistão. Assuma que a equação do virial truncada no primeiro termo descreva as propriedades volumétricas do etano.
Elabore um gráfico do comportamento da pressão versus o volume extensivo do processo de compressão (de
a
) realizado isotermicamente ( 300 K ). No mesmo gráfico, indique a curva para um gás ideal para comparação do comportamento do elano. Baseado neste gráfico calcule o trabalho requerido para a compressão do gás (considerando-o gás ideal e gás real). Comente os resultados obtidos.
Passo 1
O enunciado pede que se faça um gráfico da pressão versus o volume extensivo durante uma compressão isotérmica de etano (
) e, com base nesse gráfico, que se calcule o trabalho requerido para comprimir
moles de etano de
até
a
, comparando gás ideal e gás real (usando a expansão viral truncada no primeiro termo).
Dados do enunciado (todos listados explicitamente):
- Dependência do segundo coeficiente do virial:
- Temperatura do processo:
- Número de mols:
- Volume inicial (extensivo):
- Volume final (extensivo):
- A equação viral truncada fornecida (no enunciado):
onde será necessário interpretar corretamente
(ver próximo passo).
- Pedidos:
- Elaborar o gráfico
versus (desde até ) para etano real (usando a virial truncada) e para gás ideal no mesmo gráfico. - Calcular o trabalho requerido para a compressão, primeiro considerando gás ideal e depois gás real.
- Comentar os resultados.
- Elaborar o gráfico
Passo 2
Interpretando a forma do virial e calculando
a
.
Explicação didática: normalmente a forma truncada do virial é escrita em termos do volume molar
(volume por mol):
. Como o enunciado pede o gráfico de
versus volume extensivo (volume total
do sistema), devemos escrever tudo em função do volume extensivo
. Se
é o volume molar e
o número de mols, então
. Substituindo temos:
Ou seja, quando o enunciado diz
ele usa forma com
molar; para o volume extensivo devemos usar
.
Agora calculemos
em
. Usando a fórmula dada:
Calcule passo a passo:
Comentário:
negativo indica que, na faixa de temperatura dada, as interações atrativas predominam e tendem a reduzir a pressão em comparação ao gás ideal (isso já dá uma pista do que veremos no gráfico e no trabalho).
Passo 3
Expressão da pressão em função do volume total
(extensivo) e explicação das constantes e unidades.
Definição do fator de compressibilidade:
Isolando
:
Substituindo
(expansão truncada escrita para volume total):
Este é o modelo do etano (gás real) a usar para o gráfico e para o trabalho.
Para o gás ideal, basta tomar
, portanto
Unidades e conversões (muito importante para cálculos numéricos):
- O
que calculamos está em . Para usar o em unidades SI ( ), convertemos volumes para : -
- Constante universal dos gases (SI):
- Converta
para :
- Produto
(aparece na fórmula com volume total ):
Também calculemos o coeficiente
(útil para o gráfico e trabalho):
Resumo das constantes usadas numericamente:
-
-
- Volumes dados convertidos para
:
Passo 4
Expressões finais para plotar e calcular o trabalho (resumo e interpretação física).
Fórmulas a usar:
- Gás ideal:
- Gás real (virial truncado):
Interpretação física curta: o termo adicional
corrige a pressão do ideal. Se
(como aqui), então
e o fator
é menor que
: a pressão real será menor que a prevista pelo gás ideal à mesma
e
— resultado das forças atrativas entre moléculas.
Passo 5
Cálculo de alguns pontos numéricos para construir o gráfico
versus
(esses pontos servem para desenhar as duas curvas no mesmo gráfico). Vou dar valores em Pascal (Pa) e em bar (
) para facilitar a leitura.
Tabela de pontos (volume em
e
):
Calculemos nos volumes representativos
(em
:
).
Fórmula prática numérica:
Valores:
-
Para
: -
-
Então (ou ).
-
-
Para
: -
-
Para
: -
-
Para
: -
-
Para
: -
Esses pontos mostram claramente que:
- Ambas as curvas crescem conforme o volume diminui (comportamento esperado).
- A curva do gás real fica abaixo da curva do gás ideal (porque
), a diferença cresce quando o volume diminui (a correção cresce em magnitude quando diminui).
Como desenhar o gráfico (procedimento prático):
- Eixo horizontal:
em (de a com escala logarítmica ou linear, mas linear é aceitável). - Eixo vertical:
em ou . - Traçar duas curvas:
- Curva 1 (gás ideal):
. - Curva 2 (gás real):
.
- Curva 1 (gás ideal):
- Usar os pontos da tabela para ambos e ligar suavemente (ou calcular 50–100 pontos entre
e para uma curva lisa). - Marcar os pontos extremos e uma legenda que identifique as duas curvas.
Passo 6
Cálculo do trabalho requerido (compressão isotérmica reversível) — desenvolvimento matemático e cálculo numérico.
Explicação do conceito e da convenção: para um processo isotérmico e reversível, o trabalho efetuado pelo sistema ao variar o volume de
para
é
O trabalho requerido (trabalho feito sobre o gás) é o negativo desse valor:
Vou calcular
(positivo) em ambos os modelos.
- Gás ideal:
Substituindo numericamente:
Logo
Calculando:
Valor numérico com mais dígitos:
- Gás real (virial truncado):
Usamos. Portanto
Separe a integral:
Calcule as integrais:
Portanto
Note que a primeira parte é exatamente o termo ideal; a segunda é a correção devido a
.
Agora substituímos numericamente:
- Já temos
- A correção:
. -
-
- Produto
- Multiplicando por
obtém-se a correção:
-
Portanto
Passo 7
Interpretação e comentários sobre os resultados.
-
Valores obtidos:
-
(aprox. ). -
(aprox. ).
-
-
Comparação e explicação física (linguagem simples): como
é negativo, as forças atrativas entre moléculas do etano reduzem a pressão que o gás exerce sobre as paredes em relação ao que um gás ideal exerceria à mesma e . Menor pressão média durante a compressão implica menos trabalho necessário para comprimir — por isso . No nosso cálculo a diferença é cerca de em magnitude absoluta, ou cerca de em relação ao trabalho ideal:
-
Observação sobre validade do modelo: a expansão virial truncada em um único termo (somente
) é uma aproximação boa em regimes de baixa a moderada densidade (volumes molares relativamente grandes). Quando a densidade aumenta muito (volumes totais muito pequenos), termos de ordem superior (como etc.) podem não ser desprezíveis e a aproximação pode perder acurácia. Aqui, para e , o volume molar final é — ainda relativamente grande comparado a volumes molares líquidos, mas é razoável avisar que a correção pode ser apenas qualitativa para volumes muito pequenos. Então as tendências (pressão real menor que a ideal; redução do trabalho) são confiáveis, mas a precisão numérica depende da validade de truncar a expansão viral a um termo na região considerada. -
Dica prática para a prova: ao ver a forma
lembre-se sempre de converter para o volume que o enunciado usa (volume molar ou total). Para o trabalho isoterma com correção do virial basta separar a integral em termos de e — nada de cálculo complicado, só logaritmo e reciprocais.