Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Questão 13:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos. O problema dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
y''-2y'+2y=0,
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
A pergunta é: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vou usar (definição e propriedades essenciais). A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, na maioria dos exercícios usaremos s real e suficientemente grande). As propriedades que vou usar são as fórmulas para transformada de derivadas, que permitem transformar a EDO em uma equação algébrica. Para y(t) suficientemente suave vale:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Essas fórmulas vêm de integração por partes aplicada à definição da transformada; por exemplo, para y':
\mathcal{L}\{y'\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)\,dt
fazendo integração por partes com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt chega-se à fórmula acima (o termo de borda em t\to\infty geralmente some se y não cresce muito rápido).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de
y''-2y'+2y=0
obtemos, usando as fórmulas do passo anterior,
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=0,
ou seja
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+2Y(s)=0.

Passo 4

Substituir as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y'(0)=1 na equação do passo anterior. Fazendo a substituição:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -1\bigr)-2\bigl(sY(s)-1\bigr)+2Y(s)=0.
Agora vou abrir parênteses e agrupar os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
s^{2}Y(s)-s-1 -2sY(s)+2 +2Y(s)=0.
Agrupando os coeficientes de Y(s) e os termos livres:
\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)Y(s) +(-s-1+2)=0.
Simplificando o termo livre -1+2=1:
\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)Y(s) -s +1 =0.

Passo 5

Isolar Y(s) para obter a transformada da solução:
\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)Y(s)=s-1,
portanto
Y(s)=\frac{s-1}{s^{2}-2s+2}.

Passo 6

Manipular a expressão de Y(s) para reconhecer uma transformada inversa conhecida. Primeiro completar o quadrado no denominador:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Logo
Y(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Essa forma é justamente do tipo que aparece nas transformadas de funções exponenciais multiplicadas por cosseno/ seno. Em geral vale a transformada conhecida:
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Comparando com Y(s) vemos que a=1 e b=1, pois o numerador é s-1 e o denominador é (s-1)^{2}+1^{2}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa reconhecida. Usando a tabela/identidade do passo anterior, a transformada inversa de
\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}
é
y(t)=e^{1\cdot t}\cos(1\cdot t).
Portanto
y(t)=e^{t}\cos t.

Passo 8

Verificar rapidamente que a solução encontrada satisfaz as condições iniciais (checar é sempre uma boa prática). Avaliando em t=0:
y(0)=e^{0}\cos 0=1\cdot 1=1,
e derivando
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr)=e^{t}\cos t - e^{t}\sin t = e^{t}(\cos t-\sin t),
então
y'(0)=e^{0}(\cos 0-\sin 0)=1\cdot(1-0)=1.
As condições iniciais são satisfeitas, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=e^{t}\cos t

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