Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Questão 13:
Questão 13:
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos. O problema dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
com
A pergunta é: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vou usar (definição e propriedades essenciais). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa (na prática, na maioria dos exercícios usaremos
real e suficientemente grande). As propriedades que vou usar são as fórmulas para transformada de derivadas, que permitem transformar a EDO em uma equação algébrica. Para
suficientemente suave vale:
onde
. Essas fórmulas vêm de integração por partes aplicada à definição da transformada; por exemplo, para
:
fazendo integração por partes com
e
chega-se à fórmula acima (o termo de borda em
geralmente some se
não cresce muito rápido).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial. Tomando
em ambos os lados de
obtemos, usando as fórmulas do passo anterior,
ou seja
Passo 4
Substituir as condições iniciais
e
na equação do passo anterior. Fazendo a substituição:
Agora vou abrir parênteses e agrupar os termos que contêm
e os termos constantes:
Agrupando os coeficientes de
e os termos livres:
Simplificando o termo livre
:
Passo 5
Isolar
para obter a transformada da solução:
portanto
Passo 6
Manipular a expressão de
para reconhecer uma transformada inversa conhecida. Primeiro completar o quadrado no denominador:
Logo
Essa forma é justamente do tipo que aparece nas transformadas de funções exponenciais multiplicadas por cosseno/ seno. Em geral vale a transformada conhecida:
Comparando com
vemos que
e
, pois o numerador é
e o denominador é
.
Passo 7
Aplicar a transformada inversa reconhecida. Usando a tabela/identidade do passo anterior, a transformada inversa de
é
Portanto
Passo 8
Verificar rapidamente que a solução encontrada satisfaz as condições iniciais (checar é sempre uma boa prática). Avaliando em
:
e derivando
então
As condições iniciais são satisfeitas, então a solução está correta.