(a) Verificar se o método de Gauss-Jacobi garante convergência.
(b) Determinar a solução do sistema utilizando o método de Gauss Jocobi com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro.
As perguntas são:
(a) Verificar se o método de Gauss–Jacobi garante convergência para este sistema.
(b) Determinar a solução aproximada usando o método de Gauss–Jacobi após 3 iterações.
(c) Determinar uma estimativa do erro (uma cota para \|x - x^{(3)}\|).
Lista das informações relevantes que foram dadas:
\begin{aligned} &\text{Coeficientes da matriz }A\text{ (linhas):}\\\ &\text{linha 1: }10,\;1,\;-1;\\\ &\text{linha 2: }1,\;10,\;1;\\\ &\text{linha 3: }2,\;-1,\;10.\\\ &\text{Vetor lado direito }b=(10,\,12,\,11)^T. \end{aligned}]
Passo 2
O método de Gauss–Jacobi: escrevemos A=D+(L+U), onde D é a diagonal de A e L+U tem as entradas fora da diagonal. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr).
O fator iterativo (matriz de iteração) é
B = -D^{-1}(L+U).
Convergência: uma condição simples suficiente (e prática) é que A seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorre, o método de Jacobi converge para a solução para qualquer chute inicial x^{(0)}.
Agora vamos verificar essa condição para cada linha da matriz A.
Passo 3
Verificação da dominância diagonal (usando os dados dados acima):
Para a linha 1: |a_{11}| = |10| = 10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = |1| + |-1| = 1+1 = 2. Então 10>2 (verdade).
Para a linha 2: |a_{22}| = 10 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}| = |1| + |1| = 2. Então 10>2 (verdade).
Para a linha 3: |a_{33}| = 10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}| = |2| + |-1| = 2+1 = 3. Então 10>3 (verdade).
Como em todas as linhas a desigualdade estrita vale, A é estritamente diagonal dominante por linhas. Conclusão: o método de Gauss–Jacobi garante convergência.
Passo 4
Escrever as fórmulas iterativas elementares (obtidas isolando cada x_i na sua equação):
Se escolhermos a norma-infinito (norma suprema por linhas) definida por \|v\|_\infty=\max_i |v_i| e \|M\|_\infty=\max_i\sum_j |m_{ij}|, então vale a desigualdade a posteriori para Jacobi:
desde que \|B\|_\infty<1. Essa desigualdade vem da série geométrica para (I-B)^{-1} e da relação de recorrência do erro e^{(k+1)}=B e^{(k)}.
Vamos calcular \|B\|_\infty. Como D=\operatorname{diag}(10,10,10), temos D^{-1} com 1/10 na diagonal. Então os elementos de D^{-1}(L+U) são simplesmente os off-diagonais de A divididos por 10. Os somatórios por linha (valores absolutos) são:
Interpretação: em norma infinito, a diferença máxima entre a solução exata x e a aproximação x^{(3)} é no máximo aproximadamente 0{,}00814. Ou seja, cada componente de x^{(3)} difere da exata por no máximo cerca de 8{,}14\times 10^{-3}.]
Resposta
(a) Sim. O método de Gauss–Jacobi converge porque A é estritamente diagonal dominante por linhas (10>2,\;10>2,\;10>3).
(b) x^{(3)}=\bigl(1{,}003,\;0{,}999,\;1{,}001\bigr)^T.
(c) Estimativa do erro (norma infinito): \|x-x^{(3)}\|_\infty \le 0{,}00814 (aprox.).