Problema 1 Seja o sistema definido matricialmente
\left[\begin{array}{ccc} 10 & 1 & -1 \\\\ 1 & 10 & 1 \\\\ 2 & -1 & 10 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 10 \\\\ 12 \\\\ 11 \end{array}\right]
(a) Verificar se o método de Gauss-Jacobi garante convergência.
(b) Determinar a solução do sistema utilizando o método de Gauss Jocobi com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 10 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 10 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]12\\[4pt]11\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Verificar se o método de Gauss–Jacobi garante convergência para este sistema.
(b) Determinar a solução aproximada usando o método de Gauss–Jacobi após 3 iterações.
(c) Determinar uma estimativa do erro (uma cota para \|x - x^{(3)}\|).
Lista das informações relevantes que foram dadas:
\begin{aligned} &\text{Coeficientes da matriz }A\text{ (linhas):}\\\ &\text{linha 1: }10,\;1,\;-1;\\\ &\text{linha 2: }1,\;10,\;1;\\\ &\text{linha 3: }2,\;-1,\;10.\\\ &\text{Vetor lado direito }b=(10,\,12,\,11)^T. \end{aligned}]

Passo 2

O método de Gauss–Jacobi: escrevemos A=D+(L+U), onde D é a diagonal de A e L+U tem as entradas fora da diagonal. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr).
O fator iterativo (matriz de iteração) é
B = -D^{-1}(L+U).
Convergência: uma condição simples suficiente (e prática) é que A seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorre, o método de Jacobi converge para a solução para qualquer chute inicial x^{(0)}.
Agora vamos verificar essa condição para cada linha da matriz A.

Passo 3

Verificação da dominância diagonal (usando os dados dados acima):
Para a linha 1: |a_{11}| = |10| = 10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = |1| + |-1| = 1+1 = 2. Então 10>2 (verdade).
Para a linha 2: |a_{22}| = 10 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}| = |1| + |1| = 2. Então 10>2 (verdade).
Para a linha 3: |a_{33}| = 10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}| = |2| + |-1| = 2+1 = 3. Então 10>3 (verdade).
Como em todas as linhas a desigualdade estrita vale, A é estritamente diagonal dominante por linhas. Conclusão: o método de Gauss–Jacobi garante convergência.

Passo 4

Escrever as fórmulas iterativas elementares (obtidas isolando cada x_i na sua equação):
\begin{aligned} 10x_1 + x_2 - x_3 &= 10 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \frac{10 - x_2 + x_3}{10},\\[6pt] x_1 + 10x_2 + x_3 &= 12 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \frac{12 - x_1 - x_3}{10},\\[6pt] 2x_1 - x_2 + 10x_3 &= 11 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = \frac{11 - 2x_1 + x_2}{10}. \end{aligned}
Essas fórmulas dizem que, na iteração de Jacobi,
x_1^{(k+1)}=\frac{10 - x_2^{(k)} + x_3^{(k)}}{10},\quad x_2^{(k+1)}=\frac{12 - x_1^{(k)} - x_3^{(k)}}{10},\quad x_3^{(k+1)}=\frac{11 - 2x_1^{(k)} + x_2^{(k)}}{10}.]

Passo 5

Escolha do chute inicial: vamos usar o chute padrão x^{(0)}=(0,0,0)^T. (Qualquer outro chute funcionaria, já que o método converge.)
Primeira iteração ( k=0 \to k=1):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{10 - 0 + 0}{10} = 1,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{12 - 0 - 0}{10} = 1{,}2,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \frac{11 - 0 + 0}{10} = 1{,}1. \end{aligned}
Logo x^{(1)} = (1,\;1{,}2,\;1{,}1)^T.]

Passo 6

Segunda iteração ( k=1 \to k=2), usando os valores de x^{(1)}:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{10 - x_2^{(1)} + x_3^{(1)}}{10} = \frac{10 - 1{,}2 + 1{,}1}{10}=\frac{9{,}9}{10}=0{,}99,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{12 - x_1^{(1)} - x_3^{(1)}}{10} = \frac{12 - 1 - 1{,}1}{10}=\frac{9{,}9}{10}=0{,}99,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \frac{11 - 2x_1^{(1)} + x_2^{(1)}}{10} = \frac{11 - 2\cdot1 + 1{,}2}{10}=\frac{10{,}2}{10}=1{,}02. \end{aligned}
Logo x^{(2)}=(0{,}99,\;0{,}99,\;1{,}02)^T.]

Passo 7

Terceira iteração ( k=2 \to k=3), usando x^{(2)}:
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= \frac{10 - x_2^{(2)} + x_3^{(2)}}{10} = \frac{10 - 0{,}99 + 1{,}02}{10}=\frac{10{,}03}{10}=1{,}003,\\[4pt] x_2^{(3)} &= \frac{12 - x_1^{(2)} - x_3^{(2)}}{10} = \frac{12 - 0{,}99 - 1{,}02}{10}=\frac{9{,}99}{10}=0{,}999,\\[4pt] x_3^{(3)} &= \frac{11 - 2x_1^{(2)} + x_2^{(2)}}{10} = \frac{11 - 2\cdot0{,}99 + 0{,}99}{10}=\frac{10{,}01}{10}=1{,}001. \end{aligned}
Portanto a aproximação após 3 iterações é
x^{(3)}=\bigl(1{,}003,\;0{,}999,\;1{,}001\bigr)^T.]

Passo 8

Estimativa do erro: explicação do método usado.
Definições e fórmula útil:
  • A matriz de iteração é B=-D^{-1}(L+U).
  • Se escolhermos a norma-infinito (norma suprema por linhas) definida por \|v\|_\infty=\max_i |v_i| e \|M\|_\infty=\max_i\sum_j |m_{ij}|, então vale a desigualdade a posteriori para Jacobi:
\|x - x^{(k)}\|_\infty \le \frac{\|B\|_\infty}{1-\|B\|_\infty}\,\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty,
desde que \|B\|_\infty<1. Essa desigualdade vem da série geométrica para (I-B)^{-1} e da relação de recorrência do erro e^{(k+1)}=B e^{(k)}.
Vamos calcular \|B\|_\infty. Como D=\operatorname{diag}(10,10,10), temos D^{-1} com 1/10 na diagonal. Então os elementos de D^{-1}(L+U) são simplesmente os off-diagonais de A divididos por 10. Os somatórios por linha (valores absolutos) são:
\begin{aligned} \text{linha 1: } &\frac{|1|}{10} + \frac{|-1|}{10} = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2,\\[4pt] \text{linha 2: } &\frac{|1|}{10} + \frac{|1|}{10} = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2,\\[4pt] \text{linha 3: } &\frac{|2|}{10} + \frac{|-1|}{10} = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3. \end{aligned}
Logo
\|B\|_\infty = \max\{0{,}2,\,0{,}2,\,0{,}3\}=0{,}3 < 1,
confirmando a convergência e permitindo usar a fórmula acima.
Agora calculamos \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty. Das iterações:
x^{(3)}-x^{(2)} = (1{,}003-0{,}99,\;0{,}999-0{,}99,\;1{,}001-1{,}02) =(0{,}013,\;0{,}009,\;-0{,}019).
Portanto \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty = 0{,}019.
Aplicando a cota:
\|x - x^{(3)}\|_\infty \le \frac{0{,}3}{1-0{,}3}\times 0{,}019 = \frac{0{,}3}{0{,}7}\times 0{,}019 \approx 0{,}428571\cdot 0{,}019 \approx 0{,}00814.
Interpretação: em norma infinito, a diferença máxima entre a solução exata x e a aproximação x^{(3)} é no máximo aproximadamente 0{,}00814. Ou seja, cada componente de x^{(3)} difere da exata por no máximo cerca de 8{,}14\times 10^{-3}.]

Resposta

(a) Sim. O método de Gauss–Jacobi converge porque A é estritamente diagonal dominante por linhas ( 10>2,\;10>2,\;10>3).
(b) x^{(3)}=\bigl(1{,}003,\;0{,}999,\;1{,}001\bigr)^T.
(c) Estimativa do erro (norma infinito): \|x-x^{(3)}\|_\infty \le 0{,}00814 (aprox.).

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