encontre a solução do problema de valor inicial dadc
16. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução y(t):
y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{EQUAÇÃO: } y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t}.ÇÃ
\text{CONDICÕES INICIAIS: } y(0)=1,\quad y'(0)=0.Õ
O objetivo é encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Considere a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} - 2r - 3 = 0.
Resolvendo:
r^{2} - 2r - 3 = (r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1. Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t) para a equação não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t}.
Explicando o método: como o termo do lado direito é um polinômio em t (grau 1) multiplicado por e^{2t}, usamos o método dos coeficientes indeterminados e assumimos uma forma para y_{p} igual a um polinômio do mesmo grau multiplicado por e^{2t}. Se e^{2t} fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar por potências de t, mas aqui r=2 não é raiz da característica (as raízes foram 3 e -1), então não precisamos multiplicar por t.
Portanto proponho
y_{p}(t)=(a t + b)e^{2t},
onde a e b são constantes desconhecidas a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Primeiro:
y_{p}(t)=(a t + b)e^{2t}.
Derivando (uso da regra do produto):
y_{p}'(t)=a e^{2t} + (a t + b)\cdot 2e^{2t} = \bigl(2a t + (a+2b)\bigr)e^{2t}.
Derivando novamente:
y_{p}''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2a t + (a+2b)\bigr)e^{2t} =2a e^{2t} + \bigl(2a t + (a+2b)\bigr)\cdot 2e^{2t} = \bigl(4a t + (4a+4b)\bigr)e^{2t}.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na expressão y''-2y'-3y:
y_{p}'' - 2y_{p}' - 3y_{p} = \bigl(4a t + (4a+4b)\bigr)e^{2t} -2\bigl(2a t + (a+2b)\bigr)e^{2t} -3\bigl(a t + b\bigr)e^{2t}.
Fatorando e^{2t} e somando coeficientes de t e constantes obtemos
y_{p}'' - 2y_{p}' - 3y_{p} = \bigl(-3a\,t + (2a-3b)\bigr)e^{2t}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 3t e^{2t}. Logo, igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de t e termo constante):
-3a = 3,\qquad 2a - 3b = 0.

Passo 6

Resolvendo o sistema para a e b:
-3a = 3 \implies a = -1.
Substituindo em 2a - 3b = 0:
2(-1) - 3b = 0 \implies -2 - 3b = 0 \implies b = -\tfrac{2}{3}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\bigl(-t - \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}+\bigl(-t - \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 8

Calculamos y(0) e y'(0). Primeiro y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+\bigl(-0 - \tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 1 = C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}.
A condição y(0)=1
C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}=1 \implies C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}.
Agora precisamos de y'(t). Derivando a solução geral:
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + \frac{d}{dt}\Bigl(\bigl(-t - \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}\Bigr).
Já podemos usar a regra do produto para a parte particular (já feita anteriormente de forma similar): para y_{p}(t)=(-t-\tfrac{2}{3})e^{2t} obtivemos
y_{p}'(t)=\bigl(-2t - \tfrac{7}{3}\bigr)e^{2t}.
Logo
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + \bigl(-2t - \tfrac{7}{3}\bigr)e^{2t}.
Avalie em t=0:
y'(0)=3C_{1}-C_{2} - \tfrac{7}{3}.
A condição y'(0)=0
3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}=0 \implies 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}.

Passo 9

Resolvemos o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_{1}=\tfrac{12}{3}=4 \implies C_{1}=1.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}]:
1 + C_{2}=\tfrac{5}{3} \implies C_{2}=\tfrac{2}{3}.]

Resposta

y(t)=e^{3t}+\tfrac{2}{3}e^{-t}-\bigl(t+\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.

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