encontre a solução do problema de valor inicial dadc
16.
16.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução
:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Considere a equação homogênea
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação não homogênea
Explicando o método: como o termo do lado direito é um polinômio em
(grau
) multiplicado por
, usamos o método dos coeficientes indeterminados e assumimos uma forma para
igual a um polinômio do mesmo grau multiplicado por
. Se
fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar por potências de
, mas aqui
não é raiz da característica (as raízes foram
e
), então não precisamos multiplicar por
.
Portanto proponho
Portanto proponho
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Primeiro:
Derivando (uso da regra do produto):
Derivando novamente:
Passo 5
Substituímos
,
e
na expressão
:
Fatorando
e somando coeficientes de
e constantes obtemos
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Logo, igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante):
Passo 6
Resolvendo o sistema para
e
:
Substituindo em
:
Portanto a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Calculamos
e
. Primeiro
:
A condição
dá
Agora precisamos de
. Derivando a solução geral:
Já podemos usar a regra do produto para a parte particular (já feita anteriormente de forma similar): para
obtivemos
Logo
Avalie em
:
A condição
dá
Passo 9
Resolvemos o sistema linear para
Somando as duas equações:
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}]:
]