Determine os valores dos parâmetros \alpha e \beta para que a matriz possa ser decomposta nos fatores de Cholesky. Escolha de forma adequada um valor para cada parâmetro e determine a matriz G tal que A=G G^{t}.
e pede duas coisas: (i) determinar os valores dos parâmetros \alpha e \beta para que a matriz possa ser decomposta nos fatores de Cholesky; (ii) escolher valores adequados para \alpha e \beta e calcular uma matriz G (triangular inferior) tal que
A=G G^{t}.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz dependem de \alpha e \beta; precisamos encontrar esses parâmetros e depois efetuar a decomposição de Cholesky para um caso escolhido.]
Passo 2
O que significa “poder ser decomposta nos fatores de Cholesky”? Vou explicar devagarinho: a decomposição de Cholesky existe para uma matriz quadrada exatamente quando essa matriz é simétrica e definida positiva.
“Simétrica” significa que A=A^{t}, ou seja, a_{ij}=a_{ji} para todos i,j.
“Definida positiva” significa, intuitivamente, que x^{t}Ax>0 para todo vetor x\neq 0. Para matrizes simétricas, existe um critério prático e muito usado: a condição de Sylvester — a matriz é definida positiva se e somente se todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores-esquerdos) forem positivos. Para uma matriz 3\times3 isso vira: os três menores principais (ordem 1, 2 e 3) devem ser positivos.
Portanto, para existirem fatores de Cholesky precisamos garantir: (A) A é simétrica; (B) os menores principais de ordem 1, 2 e 3 são positivos. Vou aplicar isso ao caso.
Passo 3
Primeiro tratamos a simetria: olhar para A mostra que os elementos (1,2) e (2,1) são \alpha e \beta. Para que A seja simétrica precisamos que
\alpha=\beta.
Vou chamar esse valor comum de x, isto é, \alpha=\beta=x. A partir daqui trabalhamos com
A=\begin{pmatrix} 4 & x & 1\\[4pt] x & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora aplico Sylvester (menores principais). Primeiro menor (ordem 1):
\det\bigl([4]\bigr)=4>0,
logo ok.
Segundo menor (ordem 2) é o determinante do bloco superior-esquerdo 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & x\\[4pt] x & 4\end{pmatrix}=4\cdot4-x^{2}=16-x^{2}.
Para ser positivo precisa satisfazer
16-x^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.]
Passo 5
Terceiro menor (ordem 3) é o determinante da própria matriz A. Vou calcular explicitamente:
\det(A)= \begin{vmatrix} 4 & x & 1\\[4pt] x & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Expando pela primeira linha (ou por qualquer método), temos
ou seja, x=-2 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} na forma original é negativo, o polinômio -x^{2}+2x+8 é positivo entre as raízes. Portanto
-2<x<4.]
Passo 6
Agora combino as duas condições obtidas:
|x|<4\quad\text{(do menor de ordem 2)}\quad\text{e}\quad -2<x<4\quad\text{(do determinante total)}.
A interseção é simplesmente
-2<x<4.
Portanto, para a matriz ser simétrica e definida positiva (e assim admitir decomposição de Cholesky), devemos ter \alpha=\beta=x com
-2<x<4.
Qualquer valor de x nesse intervalo serve. Agora a tarefa pede que eu escolha valores apropriados e determine G. Vou escolher um valor simples e positivo dentro do intervalo para facilitar cálculos: escolho
Posso verificar rapidamente (sem mostrar todos os detalhes) que G G^{t} reconstrói A: por exemplo (G G^{t})_{12}=2\cdot\tfrac{1}{2}=1 que coincide com a_{12}=1, e similares para os outros elementos (a verificação bate).]