Seja a matriz
A=\left[\begin{array}{lll} 4 & \alpha & 1 \\\ \beta & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Determine os valores dos parâmetros \alpha e \beta para que a matriz possa ser decomposta nos fatores de Cholesky. Escolha de forma adequada um valor para cada parâmetro e determine a matriz G tal que A=G G^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & \alpha & 1\\[4pt] \beta & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede duas coisas: (i) determinar os valores dos parâmetros \alpha e \beta para que a matriz possa ser decomposta nos fatores de Cholesky; (ii) escolher valores adequados para \alpha e \beta e calcular uma matriz G (triangular inferior) tal que
A=G G^{t}.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz dependem de \alpha e \beta; precisamos encontrar esses parâmetros e depois efetuar a decomposição de Cholesky para um caso escolhido.]

Passo 2

O que significa “poder ser decomposta nos fatores de Cholesky”? Vou explicar devagarinho: a decomposição de Cholesky existe para uma matriz quadrada exatamente quando essa matriz é simétrica e definida positiva.
  • “Simétrica” significa que A=A^{t}, ou seja, a_{ij}=a_{ji} para todos i,j.
  • “Definida positiva” significa, intuitivamente, que x^{t}Ax>0 para todo vetor x\neq 0. Para matrizes simétricas, existe um critério prático e muito usado: a condição de Sylvester — a matriz é definida positiva se e somente se todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores-esquerdos) forem positivos. Para uma matriz 3\times3 isso vira: os três menores principais (ordem 1, 2 e 3) devem ser positivos.
Portanto, para existirem fatores de Cholesky precisamos garantir: (A) A é simétrica; (B) os menores principais de ordem 1, 2 e 3 são positivos. Vou aplicar isso ao caso.

Passo 3

Primeiro tratamos a simetria: olhar para A mostra que os elementos (1,2) e (2,1) são \alpha e \beta. Para que A seja simétrica precisamos que
\alpha=\beta.
Vou chamar esse valor comum de x, isto é, \alpha=\beta=x. A partir daqui trabalhamos com
A=\begin{pmatrix} 4 & x & 1\\[4pt] x & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora aplico Sylvester (menores principais). Primeiro menor (ordem 1):
\det\bigl([4]\bigr)=4>0,
logo ok.
Segundo menor (ordem 2) é o determinante do bloco superior-esquerdo 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & x\\[4pt] x & 4\end{pmatrix}=4\cdot4-x^{2}=16-x^{2}.
Para ser positivo precisa satisfazer
16-x^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.]

Passo 5

Terceiro menor (ordem 3) é o determinante da própria matriz A. Vou calcular explicitamente:
\det(A)= \begin{vmatrix} 4 & x & 1\\[4pt] x & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Expando pela primeira linha (ou por qualquer método), temos
\det(A)=4\begin{vmatrix}4 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix} - x\begin{vmatrix}x & 1\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}x & 4\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix}.
Calculo cada determinante 2\times2:
\begin{vmatrix}4 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix}=4\cdot1-1\cdot1=3,
\begin{vmatrix}x & 1\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix}=x\cdot1-1\cdot1=x-1,
\begin{vmatrix}x & 4\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix}=x\cdot1-4\cdot1=x-4.
Substituindo:
\det(A)=4\cdot3 - x(x-1) + (x-4)=12 - x^{2}+x + x -4=8 - x^{2}+2x.
Reescrevendo:
\det(A)=-x^{2}+2x+8.
Queremos \det(A)>0. Isso é uma inequação quadrática; para resolver, encontro raízes da igualdade
-x^{2}+2x+8=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-8=0.
As raízes são
x=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2},
ou seja, x=-2 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} na forma original é negativo, o polinômio -x^{2}+2x+8 é positivo entre as raízes. Portanto
-2<x<4.]

Passo 6

Agora combino as duas condições obtidas:
|x|<4\quad\text{(do menor de ordem 2)}\quad\text{e}\quad -2<x<4\quad\text{(do determinante total)}.
A interseção é simplesmente
-2<x<4.
Portanto, para a matriz ser simétrica e definida positiva (e assim admitir decomposição de Cholesky), devemos ter \alpha=\beta=x com
-2<x<4.
Qualquer valor de x nesse intervalo serve. Agora a tarefa pede que eu escolha valores apropriados e determine G. Vou escolher um valor simples e positivo dentro do intervalo para facilitar cálculos: escolho
x=1,
isto é,
\alpha=1,\qquad \beta=1.

Passo 7

Agora faço a decomposição de Cholesky para
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explico o procedimento: procuramos uma matriz triangular inferior
G=\begin{pmatrix} g_{11} & 0 & 0\\[4pt] g_{21} & g_{22} & 0\\[4pt] g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix}
com entradas reais e g_{11},g_{22},g_{33}>0, tal que A=G G^{t}. As fórmulas passo a passo (algoritmo de Cholesky) para cada entrada são:
g_{11}=\sqrt{a_{11}},
g_{21}=\frac{a_{21}}{g_{11}},\qquad g_{31}=\frac{a_{31}}{g_{11}},
g_{22}=\sqrt{a_{22}-g_{21}^{2}},
g_{32}=\frac{a_{32}-g_{31}g_{21}}{g_{22}},
g_{33}=\sqrt{a_{33}-g_{31}^{2}-g_{32}^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas com calma.]

Passo 8

Calculo g_{11}:
g_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.

Passo 9

Calculo g_{21} e g_{31}:
g_{21}=\frac{a_{21}}{g_{11}}=\frac{1}{2}, \qquad g_{31}=\frac{a_{31}}{g_{11}}=\frac{1}{2}.

Passo 10

Calculo g_{22}:
g_{22}=\sqrt{a_{22}-g_{21}^{2}}=\sqrt{4-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.

Passo 11

Calculo g_{32}:
g_{32}=\frac{a_{32}-g_{31}g_{21}}{g_{22}} =\frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{15}}{2}} =\frac{1-\tfrac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} =\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{15}} =\frac{3}{2\sqrt{15}}.
Posso simplificar esse número racionalizando o denominador:
\frac{3}{2\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{2\cdot15}=\frac{\sqrt{15}}{10}.
Então
g_{32}=\frac{\sqrt{15}}{10}.

Passo 12

Calculo g_{33}:
g_{33}=\sqrt{a_{33}-g_{31}^{2}-g_{32}^{2}}.
Já tenho g_{31}^{2}=\tfrac{1}{4} e g_{32}^{2}=\left(\tfrac{\sqrt{15}}{10}\right)^{2}=\tfrac{15}{100}=\tfrac{3}{20}. Então
g_{31}^{2}+g_{32}^{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{20}=\tfrac{5}{20}+\tfrac{3}{20}=\tfrac{8}{20}=\tfrac{2}{5}.
Logo
g_{33}=\sqrt{1-\tfrac{2}{5}}=\sqrt{\tfrac{3}{5}}.
Escrevendo em termos de \sqrt{15}:
\sqrt{\tfrac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
Portanto g_{33}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}.

Passo 13

Reuno todos os g_{ij} e apresento a matriz G:
G=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{15}}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{15}}{10} & \tfrac{\sqrt{15}}{5} \end{pmatrix}.
Posso verificar rapidamente (sem mostrar todos os detalhes) que G G^{t} reconstrói A: por exemplo (G G^{t})_{12}=2\cdot\tfrac{1}{2}=1 que coincide com a_{12}=1, e similares para os outros elementos (a verificação bate).]

Resposta

\alpha=1,\\ \beta=1
G=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{15}}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{15}}{10} & \tfrac{\sqrt{15}}{5} \end{pmatrix}]

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