Problema 3 Seja o sistema
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=1 \\\\ 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=2 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.
(a) Verifique que o método de Gauss-Jacobi não garante convergência.
(b) Faça uma troca de linhas no sistema de modo que o método de GaussJacobi garanta convergência.
(c) Determinar a solução do sistema utilizando o método de Gauss Jocobi com 3 iterações.
(d) Determinar a estimativa do erro.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=1,\\[4pt] 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=2,\\[4pt] - x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3, \end{array}\right.
e pede as seguintes coisas:
  1. (a) Verificar que o método de Gauss–Jacobi NÃO garante convergência para esse arranjo das equações.
  2. (b) Fazer uma troca de linhas (ou seja, permutar as equações) de modo que o método de Gauss–Jacobi GARANTA convergência.
  3. (c) Determinar a solução aproximada por Gauss–Jacobi após 3 iterações (assuma x^{(0)}=(0,0,0)^T quando necessário).
  4. (d) Determinar uma estimativa do erro após essas 3 iterações.
    Informações relevantes dadas explicitamente: os coeficientes e o termo independente do sistema (já escritos acima). Não há outra informação (por ex. condição inicial diferente) fornecida.]

Passo 2

Explicando o método e o critério clássico de convergência (a parte “didática”):\n
O método de Gauss–Jacobi para Ax=b expressa cada incógnita isolando a diagonal:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Isso gera uma iteração linear do tipo
x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c,
onde a matriz de iteração de Jacobi é
B_J = -D^{-1}(L+U),
sendo D a matriz diagonal de A e L+U a parte fora da diagonal.\n
Um critério simples e muito utilizado para garantir convergência é a dominância diagonal por linhas: se, para toda linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então o método de Jacobi converge (em qualquer norma induzida). Se essa condição falha, não temos garantia pelo critério; pode ainda convergir, mas não é garantido.\n
Agora vamos aplicar esse teste ao sistema original.

Passo 3

Aplicando o teste de dominância diagonal ao sistema original.\n
A matriz A dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6\\[4pt] 4 & -1 & 3\\[4pt] -1 & 5 & 3 \end{pmatrix}.
Verificamos, linha a linha, o módulo do termo diagonal e a soma dos módulos dos outros termos:
\begin{aligned} \text{linha 1: }& |a_{11}|=|4|=4,\quad \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|6|=8,\quad 4<8,\\[4pt] \text{linha 2: }& |a_{22}|=|-1|=1,\quad \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|4|+|3|=7,\quad 1<7,\\[4pt] \text{linha 3: }& |a_{33}|=|3|=3,\quad \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|{-1}|+|5|=6,\quad 3<6. \end{aligned}
Como nenhuma linha é estritamente diagonalmente dominante, o critério de dominância diagonal NÃO é satisfeito. Portanto, pelo critério simples e padrão, o método de Gauss–Jacobi não garante convergência para este arranjo das equações. (Resposta da alínea (a) concluída.)]

Passo 4

Escolhendo uma permutação de linhas que melhore a dominância (parte b) e justificando a escolha.\n
Queremos permutar as equações (trocar linhas) de modo a tornar a matriz mais favorável. Uma permutação comum é colocar as linhas na ordem \text{linha}_1\leftarrow\text{original }2,\\ \text{linha}_2\leftarrow\text{original }3,\\ \text{linha}_3\leftarrow\text{original }1. Ou seja, permutamos para a ordem [2,3,1].\n
Após essa troca de linhas obtemos o sistema (peguei os dados das linhas originais e reordenei):
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-1 x_{2}+3 x_{3}=2,\\[4pt] -1 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3,\\[4pt] 4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=1. \end{array}\right.
A matriz permutada A' é
A'=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 3\\[4pt] -1 & 5 & 3\\[4pt] 4 & 2 & 6 \end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes permutado é
b'=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Mostrar que, para essa permutação, o método de Jacobi garante convergência (continuação da b).\n
Construímos a matriz de iteração de Jacobi B para A'. Para Jacobi as entradas fora da diagonal são b_{ij}=-a'_{ij}/a'_{ii} para i\ne j, e zeros na diagonal. Assim
B=\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & 0 & -\tfrac{3}{5}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}.
Para garantir convergência é necessário e suficiente que o raio espectral \rho(B)<1. Vamos obter o polinômio característico de B e analisar as raízes (didaticamente explico os passos): calculando \det(B-\lambda I) obtemos, após simplificação,
\lambda^{3}-\tfrac{3}{4}\lambda -\tfrac{3}{20}=0,
ou multiplicando por 20:
20\lambda^{3}-15\lambda -3=0.
Encontrando numericamente as raízes (método de bissecção/avaliação de sinal; explicito aproximações): uma raiz real positiva está aproximadamente em \lambda_1\approx 0{,}9535. As outras duas raízes são aproximadamente \lambda_2\approx -0{,}7408 e \lambda_3\approx -0{,}2123. Assim
\rho(B)=\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,|\lambda_3|\}\approx 0{,}9535<1.
Como \rho(B)<1, a iteração de Jacobi para o sistema permutado converge (garantido). Portanto a permutação feita (trocar as linhas na ordem [2,3,1]) resolve a alínea (b).]

Passo 6

Preparando a iteração de Jacobi para executar as 3 iterações (parte c): escrever as fórmulas de iteração explícitas.\n
Das equações do sistema permutado isolamos cada variável:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1}{4}\bigl(2 -(-1)x_2^{(k)} - 3 x_3^{(k)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(2 + x_2^{(k)} -3 x_3^{(k)}\bigr),\\[6pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{1}{5}\bigl(3 -(-1)x_1^{(k)} - 3 x_3^{(k)}\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(3 + x_1^{(k)} -3 x_3^{(k)}\bigr),\\[6pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1}{6}\bigl(1 -4 x_1^{(k)} -2 x_2^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Tomaremos x^{(0)}=(0,0,0)^T (padrão quando não fornecido). Vou calcular passo a passo as iterações, explicando as contas.]

Passo 7

Cálculo das iterações 1 a 3 (detalhado):\n
Iteração k=0\to k=1 usando x^{(0)}=(0,0,0):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1}{4}(2+0-3\cdot 0)=\tfrac{2}{4}=0{,}5,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\tfrac{1}{5}(3+0-3\cdot 0)=\tfrac{3}{5}=0{,}6,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\tfrac{1}{6}(1-4\cdot 0-2\cdot 0)=\tfrac{1}{6}\approx 0{,}1666667. \end{aligned}
Iteração k=1\to k=2 usando x^{(1)}=(0{,}5,\,0{,}6,\,\tfrac{1}{6}):
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(2+0{,}6-3\cdot\tfrac{1}{6}\bigr) =\tfrac{1}{4}\bigl(2{,}6-0{,}5\bigr)=\tfrac{2{,}1}{4}=0{,}525,\\[6pt] x_2^{(2)}&=\tfrac{1}{5}\bigl(3+0{,}5-3\cdot\tfrac{1}{6}\bigr) =\tfrac{1}{5}\bigl(3{,}5-0{,}5\bigr)=\tfrac{3{,}0}{5}=0{,}6,\\[6pt] x_3^{(2)}&=\tfrac{1}{6}\bigl(1-4\cdot0{,}5-2\cdot0{,}6\bigr) =\tfrac{1}{6}\bigl(1-2-1{,}2\bigr)=\tfrac{-2{,}2}{6}=-0{,}3666667. \end{aligned}
Iteração k=2\to k=3 usando x^{(2)}=(0{,}525,\,0{,}6,\,-0{,}3666667):
\begin{aligned} x_1^{(3)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(2+0{,}6-3(-0{,}3666667)\bigr) =\tfrac{1}{4}\bigl(2{,}6+1{,}1\bigr)=\tfrac{3{,}7}{4}=0{,}925,\\[6pt] x_2^{(3)}&=\tfrac{1}{5}\bigl(3+0{,}525-3(-0{,}3666667)\bigr) =\tfrac{1}{5}\bigl(3{,}525+1{,}1\bigr)=\tfrac{4{,}625}{5}=0{,}925,\\[6pt] x_3^{(3)}&=\tfrac{1}{6}\bigl(1-4\cdot0{,}525-2\cdot0{,}6\bigr) =\tfrac{1}{6}\bigl(1-2{,}1-1{,}2\bigr)=\tfrac{-2{,}3}{6}=-0{,}3833333. \end{aligned}
Portanto, após 3 iterações obtemos a aproximação
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0{,}925\\[4pt]0{,}925\\[4pt]-0{,}3833333\end{pmatrix}.]

Passo 8

Determinando a solução exata do sistema (útil para avaliar erro real) — resolução por eliminação (didática, passo a passo):\n
Volto ao sistema original (não permutado) para resolver exatamente por eliminação ou recuperação direta:
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=1,\\[4pt] 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=2,\\[4pt] - x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3. \end{array}\right.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+\tfrac{1}{4}R_1:
\begin{aligned} R_1&: &4x_1+2x_2+6x_3&=1,\\[4pt] R_2&: &0x_1-3x_2-3x_3&=1,\\[4pt] R_3&: &0x_1+\tfrac{11}{2}x_2+\tfrac{9}{2}x_3&=\tfrac{13}{4}. \end{aligned}
De R_2 obtemos x_2+x_3=-\tfrac{1}{3}, ou x_2=-\tfrac{1}{3}-x_3. Substituindo em R_3 (multiplicada por 2 para ficar sem frações):
22x_2+18x_3=13.
Substituindo x_2:
22\Bigl(-\tfrac{1}{3}-x_3\Bigr)+18x_3=13 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{22}{3}-22x_3+18x_3=13.
Assim
-4x_3=13+\tfrac{22}{3}=\tfrac{61}{3}\quad\Rightarrow\quad x_3=-\tfrac{61}{12}.
Então
x_2=-\tfrac{1}{3}-x_3=-\tfrac{1}{3}+\tfrac{61}{12}=\tfrac{57}{12}=\tfrac{19}{4}.
Finalmente, de R_1:
4x_1=1-2x_2-6x_3 =1-2\cdot\tfrac{19}{4}-6\cdot\Bigl(-\tfrac{61}{12}\Bigr) =1-\tfrac{19}{2}+\tfrac{61}{2}=22,
logo
x_1=\tfrac{22}{4}=\tfrac{11}{2}.
Portanto a solução exata é
x=\begin{pmatrix} \tfrac{11}{2}\\[4pt] \tfrac{19}{4}\\[4pt] -\tfrac{61}{12}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}5{,}5\\[4pt]4{,}75\\[4pt]-5{,}0833333\end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo do erro real após 3 iterações e estimativa teórica (alínea d).\n
O erro real e^{(3)}=x-x^{(3)} é
e^{(3)}\approx \begin{pmatrix}5{,}5\\[4pt]4{,}75\\[4pt]-5{,}0833333\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0{,}925\\[4pt]0{,}925\\[4pt]-0{,}3833333\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4{,}575\\[4pt]3{,}825\\[4pt]-4{,}7\end{pmatrix}.
Usando norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) obtemos o erro real
\|e^{(3)}\|_{\infty}=\max\{4{,}575;\;3{,}825;\;4{,}7\}=4{,}7.
Estimativa do erro a partir da iteração (a posteriori): existe uma estimativa prática usada em iterações estacionárias
\|e^{(k)}\|\le\frac{q}{1-q}\,\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|,
onde q é o fator de contração (usualmente tomado como q\approx\rho(B) quando \rho(B)<1). Nós calculamos \rho(B)\approx 0{,}9535 (Passo 5). Então
\frac{q}{1-q}\approx\frac{0{,}9535}{1-0{,}9535}\approx\frac{0{,}9535}{0{,}0465}\approx20{,}517.
Agora \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{|0{,}925-0{,}525|,\;|0{,}925-0{,}6|,\;|-0{,}3833333-(-0{,}3666667)|\}=\max\{0{,}4,\;0{,}325,\;0{,}0166666\}=0{,}4. Portanto a estimativa a posteriori dá
\|e^{(3)}\|_{\infty}\lesssim 20{,}517\cdot 0{,}4 \approx 8{,}207.
Essa é uma cota conservadora (maior que o erro real 4{,}7), mas é uma estimativa válida baseada em q\approx\rho(B) e na diferença entre iterações recentes.]

Resposta

(a) O método de Gauss–Jacobi NÃO garante convergência para o sistema na ordem original, pois nenhuma linha é estritamente diagonalmente dominante (linha 1: 4<8, linha 2: 1<7, linha 3: 3<6).
(b) Uma troca de linhas que garante convergência é permutar as equações na ordem [2,3,1], obtendo o sistema
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=2,\\[4pt] - x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3,\\[4pt] 4 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=1, \end{array}\right.
cuja matriz de iteração tem raio espectral \rho(B)\approx 0{,}9535<1, logo Jacobi converge.
(c) Com x^{(0)}=(0,0,0)^T, as três iterações de Jacobi (no sistema permutado) dão
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0{,}925\\[4pt]0{,}925\\[4pt]-0{,}3833333\end{pmatrix}.
(d) Solução exata: x=\bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{19}{4},-\tfrac{61}{12}\bigr)^T\approx(5{,}5,\,4{,}75,\,-5{,}0833333)^T. O erro real após 3 iterações (norma \infty) é \|e^{(3)}\|_{\infty}\approx 4{,}7. A estimativa a posteriori usando q\approx\rho(B) dá a cota conservadora \|e^{(3)}\|_{\infty}\lesssim 8{,}207.]

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