(a) Verifique que o método de Gauss-Jacobi não garante convergência.
(b) Faça uma troca de linhas no sistema de modo que o método de GaussJacobi garanta convergência.
(c) Determinar a solução do sistema utilizando o método de Gauss Jocobi com 3 iterações.
(d) Determinar a estimativa do erro.
(a) Verificar que o método de Gauss–Jacobi NÃO garante convergência para esse arranjo das equações.
(b) Fazer uma troca de linhas (ou seja, permutar as equações) de modo que o método de Gauss–Jacobi GARANTA convergência.
(c) Determinar a solução aproximada por Gauss–Jacobi após 3 iterações (assuma x^{(0)}=(0,0,0)^T quando necessário).
(d) Determinar uma estimativa do erro após essas 3 iterações.
Informações relevantes dadas explicitamente: os coeficientes e o termo independente do sistema (já escritos acima). Não há outra informação (por ex. condição inicial diferente) fornecida.]
Passo 2
Explicando o método e o critério clássico de convergência (a parte “didática”):\n
O método de Gauss–Jacobi para Ax=b expressa cada incógnita isolando a diagonal:
sendo D a matriz diagonal de A e L+U a parte fora da diagonal.\n
Um critério simples e muito utilizado para garantir convergência é a dominância diagonal por linhas: se, para toda linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então o método de Jacobi converge (em qualquer norma induzida). Se essa condição falha, não temos garantia pelo critério; pode ainda convergir, mas não é garantido.\n
Agora vamos aplicar esse teste ao sistema original.
Passo 3
Aplicando o teste de dominância diagonal ao sistema original.\n
A matriz A dos coeficientes é
Como nenhuma linha é estritamente diagonalmente dominante, o critério de dominância diagonal NÃO é satisfeito. Portanto, pelo critério simples e padrão, o método de Gauss–Jacobi não garante convergência para este arranjo das equações. (Resposta da alínea (a) concluída.)]
Passo 4
Escolhendo uma permutação de linhas que melhore a dominância (parte b) e justificando a escolha.\n
Queremos permutar as equações (trocar linhas) de modo a tornar a matriz mais favorável. Uma permutação comum é colocar as linhas na ordem \text{linha}_1\leftarrow\text{original }2,\\ \text{linha}_2\leftarrow\text{original }3,\\ \text{linha}_3\leftarrow\text{original }1. Ou seja, permutamos para a ordem [2,3,1].\n
Após essa troca de linhas obtemos o sistema (peguei os dados das linhas originais e reordenei):
Mostrar que, para essa permutação, o método de Jacobi garante convergência (continuação da b).\n
Construímos a matriz de iteração de Jacobi B para A'. Para Jacobi as entradas fora da diagonal são b_{ij}=-a'_{ij}/a'_{ii} para i\ne j, e zeros na diagonal. Assim
Para garantir convergência é necessário e suficiente que o raio espectral \rho(B)<1. Vamos obter o polinômio característico de B e analisar as raízes (didaticamente explico os passos): calculando \det(B-\lambda I) obtemos, após simplificação,
\lambda^{3}-\tfrac{3}{4}\lambda -\tfrac{3}{20}=0,
ou multiplicando por 20:
20\lambda^{3}-15\lambda -3=0.
Encontrando numericamente as raízes (método de bissecção/avaliação de sinal; explicito aproximações): uma raiz real positiva está aproximadamente em \lambda_1\approx 0{,}9535. As outras duas raízes são aproximadamente \lambda_2\approx -0{,}7408 e \lambda_3\approx -0{,}2123. Assim
Como \rho(B)<1, a iteração de Jacobi para o sistema permutado converge (garantido). Portanto a permutação feita (trocar as linhas na ordem [2,3,1]) resolve a alínea (b).]
Passo 6
Preparando a iteração de Jacobi para executar as 3 iterações (parte c): escrever as fórmulas de iteração explícitas.\n
Das equações do sistema permutado isolamos cada variável:
Determinando a solução exata do sistema (útil para avaliar erro real) — resolução por eliminação (didática, passo a passo):\n
Volto ao sistema original (não permutado) para resolver exatamente por eliminação ou recuperação direta:
Agora \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{|0{,}925-0{,}525|,\;|0{,}925-0{,}6|,\;|-0{,}3833333-(-0{,}3666667)|\}=\max\{0{,}4,\;0{,}325,\;0{,}0166666\}=0{,}4. Portanto a estimativa a posteriori dá
Essa é uma cota conservadora (maior que o erro real 4{,}7), mas é uma estimativa válida baseada em q\approx\rho(B) e na diferença entre iterações recentes.]
Resposta
(a) O método de Gauss–Jacobi NÃO garante convergência para o sistema na ordem original, pois nenhuma linha é estritamente diagonalmente dominante (linha 1: 4<8, linha 2: 1<7, linha 3: 3<6).
(b) Uma troca de linhas que garante convergência é permutar as equações na ordem [2,3,1], obtendo o sistema
cuja matriz de iteração tem raio espectral \rho(B)\approx 0{,}9535<1, logo Jacobi converge.
(c) Com x^{(0)}=(0,0,0)^T, as três iterações de Jacobi (no sistema permutado) dão
(d) Solução exata: x=\bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{19}{4},-\tfrac{61}{12}\bigr)^T\approx(5{,}5,\,4{,}75,\,-5{,}0833333)^T. O erro real após 3 iterações (norma \infty) é \|e^{(3)}\|_{\infty}\approx 4{,}7. A estimativa a posteriori usando q\approx\rho(B) dá a cota conservadora \|e^{(3)}\|_{\infty}\lesssim 8{,}207.]