(a) Verifique quais dos métodos, Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, garante convergência.
(b) Utilizando um dos métodos que garante convergência, determinar a solução do sistema, com 3 iterações.
(c) Determinar a estimativa do erro.
(a) Verificar quais dos métodos iterativos Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel garantem convergência para este sistema.
(b) Usando um dos métodos que garante convergência, determinar a solução obtida após 3 iterações. (Vou usar a escolha padrão de chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^\top, já que o enunciado não diz outro.)
(c) Determinar uma estimativa do erro (vou apresentar estimativas a priori e a posteriori e, para comparação, o erro real se for possível computá-lo).
As informações relevantes que temos são a matriz A e o vetor b acima; nada mais foi pedido explicitamente.]
Passo 2
Explicando os métodos (de forma prática e curta, para usar na prova).
Decompondo A em A=D+L+U, com D a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior, as iterações são:
Gauss–Seidel:\mathbf{x}^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,\mathbf{x}^{(k)} + (D+L)^{-1}\mathbf{b}.O operador iterativo é \displaystyle B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Condição suficiente prática de convergência: se para alguma norma subordinada tivermos \|B\|<1 então a iteração converge (isto implica que o raio espectral \rho(B)<1). Vou usar a norma infinito (norma linha) porque facilita cálculos com somas de valores absolutos de linhas.
Agora a norma infinito (máxima soma das absolutas nas linhas):
linha 1: 0+0{,}1+0{,}4=0{,}5,
linha 2: 0{,}1+0+0{,}9=1{,}0,
linha 3: 0{,}2+0{,}3+0=0{,}5.
Logo \|B_J\|_\infty = 1{,}0. Como \|B_J\|_\infty não é estritamente menor que 1, esse teste não garante convergência do método de Jacobi (é inconclusivo e, na prática, não podemos afirmar que Jacobi converge). Portanto Gauss–Jacobi não está garantido por este critério.]
Passo 4
Calcular [B_{GS}) e sua norma infinito (Gauss–Seidel).
Como D+L é triangular inferior, para calcular (D+L)^{-1}U resolvemos sistemas por substituição direta coluna a coluna de U. Colunas de U: u_1=(0,0,0)^\top, u_2=(-1,0,0)^\top, u_3=(4,9,0)^\top.
Logo \|B_{GS}\|_\infty = 0{,}87<1. Como existe uma norma subordinada com \|B_{GS}\|<1, concluímos que o método de Gauss–Seidel garante convergência para este sistema. Resumo: Jacobi — não garantido; Gauss–Seidel — garantido.]
Passo 5
Preparando a iteração de Gauss–Seidel (fórmulas e chute inicial).
Estimativas do erro (a priori, a posteriori e erro real).
Primeiro recorde das desigualdades úteis:
Se \|B\|<1, então erro a priori com chute \mathbf{x}^{(0)} satisfaz\|\mathbf{e}^{(k)}\| \le \|B\|^k \|\mathbf{e}^{(0)}\|,onde \mathbf{e}^{(k)}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(k)}.
Uma estimativa a posteriori prática é\|\mathbf{e}^{(k)}\| \le \frac{\|B\|}{1-\|B\|}\,\|\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\|.
Usando a norma infinito já calculada \|B_{GS}\|_\infty=0{,}87:
(a) Estimativa a priori após 3 iterações, com chute \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{0}. O erro inicial \mathbf{e}^{(0)}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{x}; não conhecemos \mathbf{x} em geral, mas se tomarmos \|\mathbf{e}^{(0)}\|_\infty\le 1 (ou calcularmos o real mais abaixo) obtemos:
Comparando: a priori (com \|\mathbf{e}^{(0)}\|_\infty=1) deu \approx 0{,}6585 (muito frouxo); a posteriori deu \approx 0{,}878 (ainda frouxo); o erro real é \approx 0{,}0157, bem menor — isso é normal: as estimativas com norma são conservadoras.]
Resposta
(a) Apenas Gauss–Seidel garante convergência (Gauss–Jacobi não é garantido).
(b) Com Gauss–Seidel e \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^\top, após 3 iterações