Problema 7. Seja vec{u}=(a, b) um vetor não nulo em \mathbb{R}^{2}. Mostre que:
o vetor -\vec{u} tem o mesmo módulo de \vec{u};

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(a,b) em \mathbb{R}^2 (com \vec{u} não nulo, embora isso não seja essencial aqui) e pede para mostrar que o vetor -\vec{u} tem o mesmo módulo que \vec{u}.
Informações relevantes:
  • \vec{u}=(a,b) é um vetor com componentes a e b.
  • Queremos provar que os comprimentos (módulos) de \vec{u} e de -\vec{u} são iguais.

Passo 2

Lembrando a definição do módulo (norma Euclidiana) de um vetor em \mathbb{R}^2: para um vetor genérico (x,y),
\|(x,y)\| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação breve: essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, porque o comprimento do vetor é a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0), e essa distância é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas.

Passo 3

Calcular explicitamente o vetor -\vec{u}. Multiplicar \vec{u} por -1 muda o sinal de cada componente, então
-\vec{u}=(-a,-b).
Isto é apenas a definição de multiplicação escalar por -1.

Passo 4

Usar a propriedade da potência: para qualquer número real x vale (-x)^{2}=x^{2}. Justificativa: (-x)^{2}=(-1)^{2}x^{2}=1\cdot x^{2}=x^{2}. Assim,
(-a)^{2}=a^{2}\qquad\text{e}\qquad(-b)^{2}=b^{2}.

Passo 5

Calcular os módulos usando a definição do Passo 2 e a propriedade do Passo 4:
\|-\vec{u}\|=\sqrt{(-a)^{2}+(-b)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Por outro lado,
\|\vec{u}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Como ambas as expressões são iguais, conclui-se que os módulos coincidem.

Passo 6

Comentário final didático e geométrico: geometricamente, -\vec{u} é o vetor \vec{u} refletido pela origem (ou girado 180^\circ); reflexões e rotações em torno da origem não mudam o comprimento do vetor, o que confirma a igualdade obtida algebricamente. Também vale observar que a igualdade permanece verdadeira mesmo se \vec{u}=\vec{0}.

Resposta

\|-\vec{u}\|=\|\vec{u}\|

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