Problema 7. Seja
um vetor não nulo em
. Mostre que:
o vetor
tem o mesmo módulo de
;
o vetor
Passo 1
O enunciado dá o vetor
em
(com
não nulo, embora isso não seja essencial aqui) e pede para mostrar que o vetor
tem o mesmo módulo que
.
Informações relevantes:
-
é um vetor com componentes e . - Queremos provar que os comprimentos (módulos) de
e de são iguais.
Passo 2
Lembrando a definição do módulo (norma Euclidiana) de um vetor em
: para um vetor genérico
,
Explicação breve: essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, porque o comprimento do vetor é a distância do ponto
até a origem
, e essa distância é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas.
Passo 3
Calcular explicitamente o vetor
. Multiplicar
por
muda o sinal de cada componente, então
Isto é apenas a definição de multiplicação escalar por
.
Passo 4
Usar a propriedade da potência: para qualquer número real
vale
. Justificativa:
. Assim,
Passo 5
Calcular os módulos usando a definição do Passo 2 e a propriedade do Passo 4:
Por outro lado,
Como ambas as expressões são iguais, conclui-se que os módulos coincidem.
Passo 6
Comentário final didático e geométrico: geometricamente,
é o vetor
refletido pela origem (ou girado
); reflexões e rotações em torno da origem não mudam o comprimento do vetor, o que confirma a igualdade obtida algebricamente. Também vale observar que a igualdade permanece verdadeira mesmo se
.