Problema 7. Seja
um vetor não nulo em
. Mostre que:
e
têm a mesma direção e sentidos opostos;
Passo 1
O enunciado dá um vetor não nulo
em
.
A tarefa é mostrar duas coisas: (i) que e
têm a mesma direção; (ii) que
e
têm sentidos opostos.
Informações dadas: com
(ou seja,
e
não são ambos zero simultaneamente).
A tarefa é mostrar duas coisas: (i) que
Informações dadas:
Passo 2
Lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Para qualquer escalar
e vetor
vale
Aplicando isso com
obtemos explicitamente
Isto mostra de forma concreta como se obtém
a partir de
.
Passo 3
Definição operacional de “mesma direção” que vamos usar: dois vetores não nulos têm a mesma direção quando pertencem à mesma reta que passa pela origem, ou equivalentemente quando cada um é múltiplo escalar do outro (ou seja, estão na mesma subespaço unidimensional
).
Mostraremos que e
pertencem à mesma reta: claramente
(já visto), portanto
. De forma recíproca,
, logo
. Assim
Mostraremos que
ou seja,
e
geram a mesma reta passando pela origem — têm a mesma direção.
Passo 4
Agora precisamos explicar o que significa “sentidos opostos”. Para vetores colineares (ou seja, que estejam na mesma reta pela origem), existe um escalar
tal que
Se
, diz-se que
e
têm o mesmo sentido (apontam para o mesmo lado ao longo da reta); se
, têm sentidos opostos (um aponta para um lado e o outro para o lado contrário). Esta é uma definição geométrica natural: multiplicar por um escalar positivo alonga ou encolhe o vetor sem inverter a direção ao longo da reta; multiplicar por escalar negativo inverte o sentido.
Passo 5
Aplicando a ideia do passo anterior ao par
,
: encontramos o escalar que relaciona os dois é
, pois
e
. Pelo critério do passo 4, o fato de o escalar ser negativo implica que
e
têm sentidos opostos ao longo da mesma reta. Uma verificação alternativa e rápida (mais algébrica): o produto interno satisfaz
, o que corresponde geometricamente a um ângulo entre eles igual a
(180°), também indicando sentidos opostos.
Passo 6
Resumo da argumentação:
é múltiplo escalar de
(com escalar
), portanto pertencem à mesma reta através da origem (mesma direção); como o escalar que relaciona é negativo, a multiplicação por ele inverte o sentido, logo os sentidos são opostos. Um exemplo numérico rápido para fixar: se
então
— ambos estão na mesma reta passando pela origem, mas um aponta para o lado contrário do outro.