Problema 7. Seja vec{u}=(a, b) um vetor não nulo em \mathbb{R}^{2}. Mostre que:
\vec{u} e -\vec{u} têm a mesma direção e sentidos opostos;

Passo 1

O enunciado dá um vetor não nulo \vec{u}=(a,b) em \mathbb{R}^2.
A tarefa é mostrar duas coisas: (i) que \vec{u} e -\vec{u} têm a mesma direção; (ii) que \vec{u} e -\vec{u} têm sentidos opostos.
Informações dadas: \vec{u}=(a,b) com \vec{u}\neq\vec{0} (ou seja, a e b não são ambos zero simultaneamente).

Passo 2

Lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e vetor \vec{u}=(a,b) vale
c\vec{u}=(c a, c b).
Aplicando isso com c=-1 obtemos explicitamente
-\vec{u}=(-1)\vec{u}=(-a,-b).
Isto mostra de forma concreta como se obtém -\vec{u} a partir de \vec{u}.

Passo 3

Definição operacional de “mesma direção” que vamos usar: dois vetores não nulos têm a mesma direção quando pertencem à mesma reta que passa pela origem, ou equivalentemente quando cada um é múltiplo escalar do outro (ou seja, estão na mesma subespaço unidimensional \operatorname{span}\{\vec{u}\}).
Mostraremos que \vec{u} e -\vec{u} pertencem à mesma reta: claramente -\vec{u}=(-1)\vec{u} (já visto), portanto -\vec{u}\in\operatorname{span}\{\vec{u}\}. De forma recíproca, \vec{u}=(-1)(-\vec{u}), logo \vec{u}\in\operatorname{span}\{-\vec{u}\}. Assim
\operatorname{span}\{\vec{u}\}=\operatorname{span}\{-\vec{u}\},
ou seja, \vec{u} e -\vec{u} geram a mesma reta passando pela origem — têm a mesma direção.

Passo 4

Agora precisamos explicar o que significa “sentidos opostos”. Para vetores colineares (ou seja, que estejam na mesma reta pela origem), existe um escalar t tal que
\vec{v}=t\vec{w}.
Se t>0, diz-se que \vec{v} e \vec{w} têm o mesmo sentido (apontam para o mesmo lado ao longo da reta); se t<0, têm sentidos opostos (um aponta para um lado e o outro para o lado contrário). Esta é uma definição geométrica natural: multiplicar por um escalar positivo alonga ou encolhe o vetor sem inverter a direção ao longo da reta; multiplicar por escalar negativo inverte o sentido.

Passo 5

Aplicando a ideia do passo anterior ao par \vec{u}, -\vec{u}: encontramos o escalar que relaciona os dois é t=-1, pois
-\vec{u}=(-1)\vec{u},
e -1<0. Pelo critério do passo 4, o fato de o escalar ser negativo implica que \vec{u} e -\vec{u} têm sentidos opostos ao longo da mesma reta. Uma verificação alternativa e rápida (mais algébrica): o produto interno satisfaz \vec{u}\cdot(-\vec{u})=-\|\vec{u}\|^2<0, o que corresponde geometricamente a um ângulo entre eles igual a \pi (180°), também indicando sentidos opostos.

Passo 6

Resumo da argumentação: -\vec{u} é múltiplo escalar de \vec{u} (com escalar -1), portanto pertencem à mesma reta através da origem (mesma direção); como o escalar que relaciona é negativo, a multiplicação por ele inverte o sentido, logo os sentidos são opostos. Um exemplo numérico rápido para fixar: se \vec{u}=(2,3) então -\vec{u}=(-2,-3) — ambos estão na mesma reta passando pela origem, mas um aponta para o lado contrário do outro.

Resposta

\vec{u} e -\vec{u} têm a mesma direção e sentidos opostos.

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