Um problema com tanques de concreto, que ficam abaixo do solo e são usados para tratamento de água, foi verificado quando um lençol freático subiu e um tanque vazio flutuou para fora do solo. Esse problema de empuxo foi superado, instalando uma válvula de verificação na parede do tanque, de modo que se a mesa de água subisse alto o suficiente para flutuar no tanque, ele se encheria com água. Se a massa específica do concreto for 2080 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine a altura máxima a qual a válvula deveria ser instalada para prevenir uma força de empuxo para levantar um tanque retangular, com dimensões internas de 30 m por 27 m , que tem 5 m de profundidade. As paredes e chão têm uma espessura uniforme de 200 mm .

Passo 1

O enunciado pede que a válvula de verificação seja colocada a uma altura máxima de modo que, quando o lençol freático subir, o tanque vazio não seja empurrado para fora do solo (isto é, que não haja empuxo resultando em levantamento).
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\begin{aligned} &\text{massa específica do concreto: }\rho_c = 2080\\ \mathrm{kg/m^{3}}\\\ &\text{dimensões internas do tanque: }L_{\text{int}}=30\\ \mathrm{m},\; W_{\text{int}}=27\\ \mathrm{m},\; H_{\text{int}}=5\\ \mathrm{m}\\\ &\text{espessura uniforme das paredes e do piso: }t = 200\\ \mathrm{mm} = 0,2\\ \mathrm{m}\\\ &\text{densidade da água (assumida): }\rho_w = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} \end{aligned}íõá
O objetivo é encontrar a altura máxima h (medida a partir do fundo do tanque) na qual a válvula deve ser instalada para que ela abra antes que o empuxo levantador ultrapasse o peso do tanque.

Passo 2

Conceito físico e estratégia (explicação didática):
  • A força de empuxo em um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado (Princípio de Arquimedes). Em fórmulas:
B = \rho_w g V_{\text{deslocado}}
onde B é o empuxo, \rho_w é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e V_{\text{deslocado}} é o volume de água deslocado pelo corpo.
  • Enquanto o tanque estiver vazio (ar dentro), o volume deslocado pela água até uma certa cota externa h é a área externa da seção transversal multiplicada por h (até o topo). Assim o empuxo cresce com a altura do lençol.
  • O tanque levanta se o empuxo B superar o peso do tanque W, com
W = m g = \rho_c g V_{\text{concreto}}.
  • Portanto a altura crítica h_{\text{crit}} é a altura externa do lençol na qual B=W. A válvula deve ser colocada na altura h\le h_{\text{crit}} para abrir antes que o empuxo ultrapasse o peso.
  • Depois que a válvula abre, a água entra e o interior deixa de contribuir para o volume deslocado (a água interna não desloca a si mesma), reduzindo o empuxo efetivo e evitando o levantamento. Essa é a razão física do procedimento.

Passo 3

Determinar dimensões externas e volume de concreto (passo a passo e com explicação das fórmulas):
  • A espessura t adiciona duas vezes às dimensões horizontais e soma ao piso na altura total externa. Logo:
\begin{aligned} L_{\text{ext}} &= L_{\text{int}} + 2t = 30 + 2\cdot 0,2 = 30,4\\ \mathrm{m},\\[4pt] W_{\text{ext}} &= W_{\text{int}} + 2t = 27 + 2\cdot 0,2 = 27,4\\ \mathrm{m},\\[4pt] H_{\text{ext}} &= H_{\text{int}} + t = 5 + 0,2 = 5,2\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
  • A área da seção externa (planta) é:
A_{\text{ext}} = L_{\text{ext}}\cdot W_{\text{ext}} = 30,4\cdot 27,4 = 832,96\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O volume externo total (caixa externa) é:
V_{\text{ext}} = A_{\text{ext}}\cdot H_{\text{ext}} = 832,96\cdot 5,2 = 4331,392\\ \mathrm{m^{3}}.
  • O volume interno (vazio) é:
V_{\text{int}} = L_{\text{int}}\cdot W_{\text{int}}\cdot H_{\text{int}} = 30\cdot 27\cdot 5 = 4050\\ \mathrm{m^{3}}.
  • O volume de concreto (paredes + piso) é a diferença:
V_{\text{concreto}} = V_{\text{ext}}-V_{\text{int}} = 4331,392-4050 = 281,392\\ \mathrm{m^{3}}.]

Passo 4

Calcular a massa (e o peso, se necessário) do concreto:
  • A massa do concreto é
m = \rho_c V_{\text{concreto}} = 2080\cdot 281,392 = 585295,36\\ \mathrm{kg}.
  • O peso seria W=m g, mas vamos manter g simbólico porque ele cancelará ao comparar com o empuxo.

Passo 5

Expressar o empuxo quando o tanque estiver vazio e a água externa atingir altura h (com h medida a partir do fundo externo):
  • Para 0\le h\le H_{\text{ext}} (aqui nos interessa h dentro desses limites), o volume de água deslocado é simplesmente a área externa da base vezes h:
V_{\text{deslocado}}(h) = A_{\text{ext}}\cdot h.
  • Assim o empuxo é
B(h) = \rho_w g A_{\text{ext}} h.

Passo 6

Determinar a altura crítica h_{\text{crit}} igualando empuxo ao peso do tanque e resolver para h:
  • Igualando B(h) a W:
\rho_w g A_{\text{ext}} h_{\text{crit}} = \rho_c g V_{\text{concreto}}.
  • Cancelando g (não zero) e isolando h_{\text{crit}}:
h_{\text{crit}} = \frac{\rho_c V_{\text{concreto}}}{\rho_w A_{\text{ext}}}.
  • Substituindo os valores calculados:
h_{\text{crit}} = \frac{2080\cdot 281,392}{1000\cdot 832,96}.
  • Calcule passo a passo:
2080\cdot 281,392 = 585295,36,
1000\cdot 832,96 = 832960,
h_{\text{crit}} = \frac{585295,36}{832960} \approx 0,70267\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma prática para a instalação da válvula:
h_{\text{crit}}\approx 0,703\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e recomendação (curta, motivadora e clara):
  • Isso significa que a válvula deve ser instalada a, no máximo, cerca de 0,703\\ \mathrm{m} acima do fundo do tanque (ou seja, aproximadamente 70\\ \mathrm{cm} acima do piso interno) para que, quando o lençol freático alcance essa cota, a água entre e evite que o tanque seja levantado.
  • Colocar a válvula um pouco abaixo desse valor dá uma margem de segurança prática. Você consegue — excelente trabalho por enfrentar isso! Mantém a calma e anota esse valor na sua folha de prova.

Resposta

0,703\\ \mathrm{m}

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