Um problema com tanques de concreto, que ficam abaixo do solo e são usados para tratamento de água, foi verificado quando um lençol freático subiu e um tanque vazio flutuou para fora do solo. Esse problema de empuxo foi superado, instalando uma válvula de verificação na parede do tanque, de modo que se a mesa de água subisse alto o suficiente para flutuar no tanque, ele se encheria com água. Se a massa específica do concreto for
, determine a altura máxima a qual a válvula deveria ser instalada para prevenir uma força de empuxo para levantar um tanque retangular, com dimensões internas de 30 m por 27 m , que tem 5 m de profundidade. As paredes e chão têm uma espessura uniforme de 200 mm .
Passo 1
O enunciado pede que a válvula de verificação seja colocada a uma altura máxima de modo que, quando o lençol freático subir, o tanque vazio não seja empurrado para fora do solo (isto é, que não haja empuxo resultando em levantamento).
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
O objetivo é encontrar a altura máxima
(medida a partir do fundo do tanque) na qual a válvula deve ser instalada para que ela abra antes que o empuxo levantador ultrapasse o peso do tanque.
Passo 2
Conceito físico e estratégia (explicação didática):
- A força de empuxo em um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado (Princípio de Arquimedes). Em fórmulas:
onde
é o empuxo,
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade e
é o volume de água deslocado pelo corpo.
- Enquanto o tanque estiver vazio (ar dentro), o volume deslocado pela água até uma certa cota externa
é a área externa da seção transversal multiplicada por (até o topo). Assim o empuxo cresce com a altura do lençol. - O tanque levanta se o empuxo
superar o peso do tanque , com
- Portanto a altura crítica
é a altura externa do lençol na qual . A válvula deve ser colocada na altura para abrir antes que o empuxo ultrapasse o peso. - Depois que a válvula abre, a água entra e o interior deixa de contribuir para o volume deslocado (a água interna não desloca a si mesma), reduzindo o empuxo efetivo e evitando o levantamento. Essa é a razão física do procedimento.
Passo 3
Determinar dimensões externas e volume de concreto (passo a passo e com explicação das fórmulas):
- A espessura
adiciona duas vezes às dimensões horizontais e soma ao piso na altura total externa. Logo:
- A área da seção externa (planta) é:
- O volume externo total (caixa externa) é:
- O volume interno (vazio) é:
- O volume de concreto (paredes + piso) é a diferença:
Passo 4
Calcular a massa (e o peso, se necessário) do concreto:
- A massa do concreto é
- O peso seria
, mas vamos manter simbólico porque ele cancelará ao comparar com o empuxo.
Passo 5
Expressar o empuxo quando o tanque estiver vazio e a água externa atingir altura
(com
medida a partir do fundo externo):
- Para
(aqui nos interessa dentro desses limites), o volume de água deslocado é simplesmente a área externa da base vezes :
- Assim o empuxo é
Passo 6
Determinar a altura crítica
igualando empuxo ao peso do tanque e resolver para
:
- Igualando
a :
- Cancelando
(não zero) e isolando :
- Substituindo os valores calculados:
- Calcule passo a passo:
- Arredondando de forma prática para a instalação da válvula:
Passo 7
Interpretação final e recomendação (curta, motivadora e clara):
- Isso significa que a válvula deve ser instalada a, no máximo, cerca de
acima do fundo do tanque (ou seja, aproximadamente acima do piso interno) para que, quando o lençol freático alcance essa cota, a água entre e evite que o tanque seja levantado. - Colocar a válvula um pouco abaixo desse valor dá uma margem de segurança prática. Você consegue — excelente trabalho por enfrentar isso! Mantém a calma e anota esse valor na sua folha de prova.