A massa específica de certo líquido é dada por uma equação da seguinte forma:
\rho=(A+B T) e^{C P}
em que \rho= massa específica \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right) T= temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) P= pressão (atm)
Passo 1
O enunciado deu a fórmula
\rho = (A + B T)\, e^{C P}
e explicou que \rho é massa específica em \mathrm{g/cm^3}, T é temperatura em ^\circ\mathrm{C} e P é pressão em atm. Não há, porém, nenhuma pergunta no enunciado: não foi pedido para calcular algo específico (por exemplo, derivadas, sensibilidade, valores numéricos, estimar A,B,C a partir de dados, etc.). Também não foram fornecidos valores numéricos ou dados experimentais.
Portanto, com o enunciado atual não existe um único “resultado final” numérico ou simbólico que eu possa apresentar como resposta do exercício — falta a questão (o que se pede) ou valores/dados. Vou, então, explicar passo a passo os procedimentos mais prováveis que o professor poderia pedir sobre essa lei, ensinando tudo que você precisa para aplicar cada procedimento na prova.
Passo 2
Derivada parcial de \rho em relação à temperatura T (pressão P fixa).
Explicação rápida do conceito: a derivada parcial \partial \rho/\partial T mede quanto \rho muda por uma pequena variação em T mantendo P constante. Para calcular, tratamos P como constante e derivamos a expressão em T.
Cálculo:
\rho = (A + B T)\, e^{C P}.
Ao derivar em T, e^{C P} é constante (pois P fixo). Então
Interpretação: um aumento unitário em T (mantendo P fixo) muda \rho aproximadamente em B e^{C P} unidades de \mathrm{g/cm^3}.
Passo 3
Derivada parcial de \rho em relação à pressão P (temperatura T fixa).
Conceito: \partial \rho/\partial P mede quanto \rho muda por pequena variação em P com T fixo. Agora (A+BT) é constante ao derivar em P.
Cálculo:
\frac{\partial \rho}{\partial P} = (A + B T)\, \frac{d}{dP}\bigl(e^{C P}\bigr).
Sabemos que \dfrac{d}{dP} e^{C P} = C\, e^{C P}. Então
\frac{\partial \rho}{\partial P} = (A + B T)\, C\, e^{C P}.
Interpretação: a sensibilidade absoluta de \rho em relação a P é proporcional a (A+BT) e cresce exponencialmente com P via e^{C P}.
Passo 4
Sensibilidades relativas (ou percentuais) — por que são úteis e como calcular.
Às vezes na prova pedem a variação percentual ou a sensibilidade relativa. A sensibilidade relativa de \rho em relação a T é
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}.
Usando \rho=(A+BT)e^{CP} e \partial\rho/\partial T = B e^{C P}, obtemos
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T} = \frac{B e^{C P}}{(A + B T)e^{C P}} = \frac{B}{A + B T}.
Para P,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial P} = \frac{(A+BT)C e^{C P}}{(A+BT)e^{CP}} = C.
Interpretação prática:
A variação relativa por pressão é simplesmente C. Isso significa que um aumento pequeno \Delta P produz aproximadamente uma variação relativa \Delta \rho/\rho \approx C\,\Delta P.
A variação relativa por temperatura depende de T: \Delta \rho/\rho \approx \dfrac{B}{A+BT}\,\Delta T.
Passo 5
Linearização para pequenas variações e uso em estimativas rápidas na prova.
Quando \Delta T e \Delta P são pequenos, usamos aproximação linear (primeira ordem, diferencial total):
\Delta \rho \approx \frac{\partial \rho}{\partial T}\,\Delta T + \frac{\partial \rho}{\partial P}\,\Delta P.
Substituindo as derivadas:
\Delta \rho \approx B e^{C P}\,\Delta T + (A + B T)C e^{C P}\,\Delta P.
Fórmula prática: você calcula e^{C P}, multiplica por B\Delta T e por (A+BT)C\Delta P e soma para obter a variação aproximada. Isso é rápido na prova quando querem estimar o efeito combinado de mudanças pequenas em T e P.
Passo 6
Como estimar A e B se C for conhecido (regressão linear direta).
Suponha que você tenha um conjunto de medidas (T_i,P_i,\rho_i) e que o valor de C já seja conhecido (ou você decidiu fixá-lo). Então defina
y_i = \rho_i e^{-C P_i}.
Da equação original,
y_i = A + B T_i.
Isto é uma regressão linear simples entre y_i e T_i. As fórmulas dos mínimos quadrados (bem usadas em prova) para n dados são:
onde \overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum_i y_i e \overline{T}=\dfrac{1}{n}\sum_i T_i.
Dica de prova: calcule primeiro y_i; depois some T_i, T_i^2, y_i e T_i y_i e aplique as fórmulas.
Passo 7
Como estimar C se A e B forem conhecidos, e um caso prático para obter C diretamente.
Se \{A,B\} são conhecidos, então de \rho_i = (A + B T_i)e^{C P_i} obtemos
\frac{\rho_i}{A + B T_i} = e^{C P_i}.
Tomando log natural:
\ln\!\left(\frac{\rho_i}{A + B T_i}\right) = C P_i.
Logo, com vários pontos (P_i,\rho_i) (mesma ou diferentes T_i), podemos ajustar uma reta y=\alpha + C P em que y_i=\ln(\rho_i/(A+B T_i)). Se A,B conhecidos, então \alpha deve ser zero (teoricamente), mas ruído experimental exige regressão linear em P para encontrar C.
Caso prático simples (muito usado em provas para obter C sem regressão): se você tiver duas medidas (\rho_1,P_1,T) e (\rho_2,P_2,T) feitas à mesma temperatura T, então
Esse é um truque muito útil em prova quando pedem C e você tem medidas à mesma T.
Passo 8
Se nenhum parâmetro for conhecido: método prático (não linear) e dica de prova.
Quando A,B,C são todos desconhecidos e você tem dados (T_i,P_i,\rho_i), você precisa de ajuste não linear (mínimos quadrados não lineares). Na prova, provavelmente o professor:
dá casos especiais (por exemplo, medidas em que P é fixo ou T é fixo) para reduzir a complexidade, ou
pede apenas derivadas/sensibilidades (caso já resolvido nos passos anteriores), ou
pede uma transformação para reduzir ao caso linear (por exemplo, fixando P ou T).
Uma estratégia prática sem software: se tiver muitas medidas, escolha pares com mesma T para obter várias estimativas de C pela fórmula do Passo 7; faça a média dessas estimativas para um chute inicial; com esse C estimado faça regressão linear para A,B via Passo 6; se for necessário, refine C minimizando somatório dos quadrados dos resíduos (procedimento iterativo, que normalmente exige calculadora/PC).
Passo 9
Exemplo numérico ilustrativo (só para treinar o procedimento — valores inventados para mostrar contas passo a passo).
Suponha que eu tenho duas medidas à mesma temperatura T=20^\circ\mathrm{C}:
em P_1=1{,}0 atm: \rho_1=0{,}998 g/cm^3;
em P_2=2{,}0 atm: \rho_2=1{,}020 g/cm^3.
Usando o truque do Passo 7 (mesma T cancela A+BT):
C = \frac{\ln(\rho_1/\rho_2)}{P_1 - P_2} = \frac{\ln(0{,}998/1{,}020)}{1{,}0-2{,}0}.
Calcule primeiro a razão 0{,}998/1{,}020 \approx 0{,}978431. Então \ln(0{,}978431)\approx -0{,}02188. Dividindo por -1{,}0 (pois 1{,}0-2{,}0=-1) obtemos C\approx 0{,}02188 (1/atm). Isso mostra concretamente como aplicar a fórmula na prova.
Passo 10
Resumo prático de “o que fazer” na prova dependendo do pedido
Se pedirem derivadas ou sensibilidades: use Passos 2–4. São cálculos diretos e rápidos.
Se pedirem variação aproximada por pequenas mudanças: use a linearização do Passo 5.
Se pedirem estimar A,B e C a partir de dados:
usar fórmula do Passo 7 quando existirem pares com mesma T para achar C;
se C conhecido, usar regressão linear do Passo 6 para A,B;
caso geral, aplicar mínimos quadrados não lineares (iterativo) ou usar transformações e estratégias mistas acima.
Em prova, sempre verifique se há medidas em que T ou P são constantes — isso simplifica muito e permite usar fórmulas fechadas.
Força aí — você já tem as ferramentas para qualquer questão que envolva essa lei. Se a prova pedir algo específico (por exemplo: calcular \partial \rho/\partial T num ponto, estimar C a partir de dois pontos, ou ajustar parâmetros), aplique o passo correspondente acima e seguem contas diretas.
Resposta
Enunciado incompleto: não há pergunta nem dados numéricos fornecidos, portanto não é possível apresentar uma única resposta final numérica.