Problema 2.2. Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero. Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados. Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.

Passo 1

Sejam os dígitos distintos e não nulos a,b,c. Formam-se os seis números de dois algarismos distintos tomados dentre a,b,c. Para calcular a soma desses números, vamos usar permutações e contagem de quantas vezes cada dígito aparece em cada posição (dezena e unidade).

Passo 2

Observe que, ao fixar um dígito na posição de dezena (por exemplo a), podemos escolher como unidade qualquer um dos outros dois dígitos. Logo, cada um dos dígitos a,b,c aparece exatamente 2 vezes na posição de dezena.
Cada aparição na posição de dezena contribui com 10 vezes o valor do dígito. Como a frequência é 2, a contribuição total das dezenas é
10 times 2 times (a + b + c) = 20(a + b + c)

Passo 3

De modo análogo, cada dígito aparece 2 vezes na posição de unidade, contribuindo com seu valor simples. Assim, a contribuição total das unidades é
1 times 2 times (a + b + c) = 2(a + b + c)

Passo 4

Somando as contribuições das dezenas e das unidades, obtemos
20(a + b + c) + 2(a + b + c) = 22(a + b + c)

Resposta

A soma dos seis números formados é 22(a + b + c).

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