Problema 2.2. Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero. Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados. Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.
Passo 1
Sejam os dígitos distintos e não nulos
. Formam-se os seis números de dois algarismos distintos tomados dentre
. Para calcular a soma desses números, vamos usar permutações e contagem de quantas vezes cada dígito aparece em cada posição (dezena e unidade).
Passo 2
Observe que, ao fixar um dígito na posição de dezena (por exemplo
), podemos escolher como unidade qualquer um dos outros dois dígitos. Logo, cada um dos dígitos
aparece exatamente 2 vezes na posição de dezena.
Cada aparição na posição de dezena contribui com 10 vezes o valor do dígito. Como a frequência é 2, a contribuição total das dezenas é
Cada aparição na posição de dezena contribui com 10 vezes o valor do dígito. Como a frequência é 2, a contribuição total das dezenas é
Passo 3
De modo análogo, cada dígito aparece 2 vezes na posição de unidade, contribuindo com seu valor simples. Assim, a contribuição total das unidades é
Passo 4
Somando as contribuições das dezenas e das unidades, obtemos
Resposta
A soma dos seis números formados é
.