Problema 7.8: Transformação a Pressão Constante ( \hat{\mathbf{C}}_{\mathbf{P}}=\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}} \mathbf{R} ) Um mol de um gás ideal é mantido sob pressão constante, P_{\mathrm{op}}=p=200 \mathrm{kPa}. A temperatura é variada de 100^{\circ} \mathrm{C} para 25^{\circ} \mathrm{C}. Sendo \hat{C}_{P}=\frac{5}{2} \mathrm{R}, calcule W, Q, \Delta U e \Delta H.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar cada dado e o que precisamos calcular):
  • Dados:
    • Quantidade de substância: n=1 mol.
    • Processo: pressão constante igual a P_{\mathrm{op}}=p=200\\ \mathrm{kPa}.
    • Capacidade calorífica molar a pressão constante: \hat{C}_{P}=\dfrac{5}{2}R.
    • Temperaturas inicial e final dadas em Celsius: temperatura inicial 100^\circ\mathrm{C} e temperatura final 25^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede calcular:
    • Trabalho W realizado no processo (usar convenção de que W é o trabalho realizado pelo sistema; positivo para expansão).
    • Calor trocado Q.
    • Variação de energia interna \Delta U.
    • Variação de entalpia \Delta H.
Observação: o enunciado dá \hat{C}_{P} (molar). Não foi dada \hat{C}_{V}, mas para gás ideal vale \hat{C}_{V}=\hat{C}_{P}-R. Também será preciso converter temperaturas para Kelvin.

Passo 2

Converter as temperaturas para Kelvin (lembrete: T\,(\mathrm{K})=T\,({}^\circ\mathrm{C})+273{,}15):
T_{1}=100^\circ\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}
T_{2}=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}
A variação de temperatura é
\Delta T=T_{2}-T_{1}=298{,}15-373{,}15=-75\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Relembrando as fórmulas básicas (e o que cada símbolo significa):
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção: W trabalho feito pelo sistema):
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna, Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
  • Para processo a pressão constante:
W = P\,\Delta V,
onde \Delta V é a variação de volume.
  • Lei dos gases ideais (uma mol): \;P V = n R T. Para n mols, \;V=\dfrac{n R T}{P}. Assim, em processo isotérmico de pressão constante a variação de volume pode ser ligada a \Delta T. Substituindo:
\Delta V = \frac{n R \Delta T}{P}.
Logo, o trabalho a pressão constante pode ser escrito como
W = P\,\Delta V = P\left(\frac{n R \Delta T}{P}\right)=n R \Delta T.
Essa é uma identidade útil: para gás ideal em processo à pressão constante, o trabalho realizado pelo sistema é W=nR\Delta T.
  • Energia interna e entalpia para gás ideal:
    • \Delta U = n \hat{C}_{V}\,\Delta T, onde \hat{C}_{V} é a capacidade molar a volume constante.
    • \Delta H = n \hat{C}_{P}\,\Delta T.
    • Relação entre capacidades molares para gás ideal: \hat{C}_{P}-\hat{C}_{V}=R, portanto \hat{C}_{V}=\hat{C}_{P}-R.
Vamos aplicar essas fórmulas com n=1 mol e \hat{C}_{P}=\dfrac{5}{2}R.

Passo 4

Calcular \hat{C}_{V} (molar) a partir de \hat{C}_{P}:
\hat{C}_{V}=\hat{C}_{P}-R=\frac{5}{2}R-R=\frac{3}{2}R.

Passo 5

Calcular o trabalho W usando W=nR\Delta T.
  • Constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}.
  • Com n=1 e \Delta T=-75\\ \mathrm{K}:
W = n R \Delta T = 1\cdot 8{,}314\cdot(-75) = -623{,}55\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W<0 significa que o sistema sofreu compressão (o trabalho foi realizado sobre o sistema); isto é consistente com a temperatura e volume terem diminuído.

Passo 6

Calcular \Delta U usando \Delta U = n \hat{C}_{V}\Delta T e \hat{C}_{V}=\dfrac{3}{2}R:
\Delta U = 1\cdot\frac{3}{2}R\cdot\Delta T = \frac{3}{2}\cdot 8{,}314\cdot(-75).
Calcule passo a passo:
\frac{3}{2}R = 1{,}5\times 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}},
\Delta U = 12{,}471\times(-75) = -935{,}325\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular \Delta H usando \Delta H = n \hat{C}_{P}\Delta T com \hat{C}_{P}=\dfrac{5}{2}R:
\hat{C}_{P}=\frac{5}{2}R=2{,}5\times 8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}},
\Delta H = 1\cdot 20{,}785\cdot(-75) = -1\,558{,}875\\ \mathrm{J}.
Observação: para processo a pressão constante de um gás ideal vale sempre Q=\Delta H. Vamos verificar Q pela primeira lei também.

Passo 8

Determinar Q. Pela primeira lei:
\Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = \Delta U + W.
Usando os valores obtidos:
Q = -935{,}325 + (-623{,}55) = -1\,558{,}875\\ \mathrm{J}.
Isso coincide com \Delta H, como esperado em processo à pressão constante ( Q=\Delta H).

Passo 9

Arredondamentos e interpretação final (valores em Joules, mantive 3 algarismos significativos onde faz sentido):
  • Trabalho: W\approx -6{,}24\times10^{2}\\ \mathrm{J} (trabalho negativo: feito sobre o gás).
  • Variação de energia interna: \Delta U\approx -9{,}35\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado: Q\approx -1{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{J} (negativo: calor saiu do sistema).
  • Variação de entalpia: \Delta H\approx -1{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

W=-6{,}24\times10^{2}\\ \mathrm{J}
Q=-1{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta U=-9{,}35\times10^{2}\\ \mathrm{J}
\Delta H=-1{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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