Problema 6.5: Escala Termométrica de Pressão de Vapor Suponha que usemos a pressão de vapor de equilíbrio da água como propriedade termométrica construindo uma escala de temperatura t^{\prime}. Em termos da temperatura Celsius t a pressão de vapor é:
Quais serão as temperaturas t^{\prime} correspondentes a t=0^{\circ} \mathrm{C}, 25^{\circ} \mathrm{C}, 50^{\circ} \mathrm{C}, 75^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede: calcular as temperaturas da escala t^{\prime} correspondentes às temperaturas em Celsius t=0^\circ\mathrm{C},\;25^\circ\mathrm{C},\;50^\circ\mathrm{C},\;75^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, quando a propriedade termométrica usada é a pressão de vapor de equilíbrio da água.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Foi dito que a propriedade termométrica é a pressão de vapor de equilíbrio da água.
  • As temperaturas em Celsius para as quais se quer t^{\prime} são 0^\circ\mathrm{C},\,25^\circ\mathrm{C},\,50^\circ\mathrm{C},\,75^\circ\mathrm{C},\,100^\circ\mathrm{C}.
Observação importante (informação que falta): o enunciado NÃO forneceu explicitamente a relação matemática entre a pressão de vapor e a temperatura t (isto é, não foi dada uma fórmula p_{\text{sat}}(t)) nem especificou exatamente como a nova escala t^{\prime} deve ser definida a partir da pressão (por exemplo, se t^{\prime} é linear em p, ou alguma outra função). Sem essa relação/convenção não é possível obter valores numéricos únicos para t^{\prime}.

Passo 2

Definição do método e das hipóteses que vou usar (escolha necessária porque o enunciado não especificou):
  • Hipótese de calibração da escala t^{\prime}: adoto a convenção usual de termometria prática de definir os pontos fixos tais que \,t^{\prime}=0 corresponde a t=0^\circ\mathrm{C} e \,t^{\prime}=100 corresponde a t=100^\circ\mathrm{C}, e suponho que a escala t^{\prime} seja obtida por interpolação linear da propriedade medida (isto é, linear em relação à pressão de vapor). Essa é uma escolha natural e simples quando se “constrói” uma escala a partir de uma propriedade monotônica.
  • Assim a relação usada para transformar uma pressão de vapor p em t^{\prime} será
t^{\prime}=100\cdot\frac{p - p(0^\circ\mathrm{C})}{p(100^\circ\mathrm{C}) - p(0^\circ\mathrm{C})},
onde p(t) é a pressão de vapor saturada da água a t graus Celsius, p(0^\circ\mathrm{C}) e p(100^\circ\mathrm{C}) são os valores nos pontos fixos.
  • Para obter p(t) utilizarei a equação de Antoine (fórmula empírica muito usada para pressão de vapor de líquidos), adequada para água no intervalo 1–100 ºC. Esta escolha substitui a fórmula ausente no enunciado por uma expressão padrão de engenharia/termodinâmica.
Explicando a equação de Antoine (como funciona e o que significam as constantes):
\log_{10} p = A - \frac{B}{C + t},
onde:
  • p é a pressão de vapor em \mathrm{mmHg} (milímetros de mercúrio),
  • t é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • A,\;B,\;C são constantes empíricas para a substância (para a água existem tabelas de constantes em diferentes faixas de temperatura).
    Vou usar os parâmetros usuais (válidos aproximadamente em 1–100 ºC):
A=8{,}07131,\qquad B=1730{,}63,\qquad C=233{,}426.
Depois de obter p em \mathrm{mmHg} converto para pascal usando 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Cálculo passo a passo das pressões de vapor p(t) usando Antoine e conversão para pascal. Para cada temperatura t faço:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \frac{B}{C+t}, \qquad p_{\text{Pa}} = p_{\text{mmHg}}\times 133{,}322.
  1. Para t=0^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426+0} =8{,}07131 - 7{,}416968\approx 0{,}654342,
p_{\text{mmHg}} = 10^{0{,}654342}\approx 4{,}508\\ \mathrm{mmHg}, \qquad p(0^\circ\mathrm{C})\approx 4{,}508\times133{,}322\approx 601{,}2\\ \mathrm{Pa}.
  1. Para t=25^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426+25} =8{,}07131 - 6{,}693694\approx 1{,}377616,
p_{\text{mmHg}} = 10^{1{,}377616}\approx 23{,}88\\ \mathrm{mmHg}, \qquad p(25^\circ\mathrm{C})\approx 23{,}88\times133{,}322\approx 3186\\ \mathrm{Pa}.
  1. Para t=50^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426+50} =8{,}07131 - 6{,}106895\approx 1{,}964415,
p_{\text{mmHg}} = 10^{1{,}964415}\approx 92{,}19\\ \mathrm{mmHg}, \qquad p(50^\circ\mathrm{C})\approx 92{,}19\times133{,}322\approx 12\,292\\ \mathrm{Pa}.
  1. Para t=75^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426+75} =8{,}07131 - 5{,}6100\approx 2{,}46131,
p_{\text{mmHg}} = 10^{2{,}46131}\approx 288{,}9\\ \mathrm{mmHg}, \qquad p(75^\circ\mathrm{C})\approx 288{,}9\times133{,}322\approx 38\,543\\ \mathrm{Pa}.
  1. Para t=100^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426+100} =8{,}07131 - 5{,}1880\approx 2{,}88331,
p_{\text{mmHg}} = 10^{2{,}88331}\approx 763{,}2\\ \mathrm{mmHg}, \qquad p(100^\circ\mathrm{C})\approx 763{,}2\times133{,}322\approx 101\,735\\ \mathrm{Pa}.
(Resumo das pressões usadas, arredondadas razoavelmente)
p(0^\circ\mathrm{C})\approx 601{,}2\\ \mathrm{Pa},\quad p(25^\circ\mathrm{C})\approx 3186\\ \mathrm{Pa},\quad p(50^\circ\mathrm{C})\approx 12\,292\\ \mathrm{Pa},
p(75^\circ\mathrm{C})\approx 38\,543\\ \mathrm{Pa},\quad p(100^\circ\mathrm{C})\approx 101\,735\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula de calibração linear em p dada no Passo 2:
t^{\prime}=100\cdot\frac{p(t)-p(0^\circ\mathrm{C})}{p(100^\circ\mathrm{C})-p(0^\circ\mathrm{C})}.
Calculo o denominador:
p(100^\circ\mathrm{C})-p(0^\circ\mathrm{C})\approx 101\,735 - 601{,}2 = 101\,133{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Cálculos ponto a ponto:
  1. Para t=0^\circ\mathrm{C}:
t^{\prime}=100\cdot\frac{601{,}2-601{,}2}{101\,133{,}8}=0.
  1. Para t=25^\circ\mathrm{C}:
t^{\prime}=100\cdot\frac{3186 - 601{,}2}{101\,133{,}8} =100\cdot\frac{2584{,}8}{101\,133{,}8}\approx 2{,}556\approx 2{,}56.
  1. Para t=50^\circ\mathrm{C}:
t^{\prime}=100\cdot\frac{12\,292 - 601{,}2}{101\,133{,}8} =100\cdot\frac{11\,690{,}8}{101\,133{,}8}\approx 11{,}56.
  1. Para t=75^\circ\mathrm{C}:
t^{\prime}=100\cdot\frac{38\,543 - 601{,}2}{101\,133{,}8} =100\cdot\frac{37\,941{,}8}{101\,133{,}8}\approx 37{,}53.
  1. Para t=100^\circ\mathrm{C}:
t^{\prime}=100\cdot\frac{101\,735 - 601{,}2}{101\,133{,}8}=100.

Passo 5

Interpretação final e comentário pedagógico rápido: a escala t^{\prime} construída dessa forma é fortemente não-linear em t (porque a pressão de vapor cresce muito mais rápido que linear com t); por isso notas como t=25^\circ\mathrm{C} e t=50^\circ\mathrm{C} correspondem a valores pequenos de t^{\prime} (próximos de 2{,}6 e 11{,}6). Isso ilustra um ponto de termometria: escolher a propriedade termométrica e a maneira de mapear para uma escala influencia muito na resolução (sensibilidade) da escala em diferentes intervalos de temperatura.
Força aí — tente reproduzir esses cálculos na prova começando por escrever claramente qual hipótese de calibração está usando; se a prova der uma fórmula diferente para p(t), basta repetir o mesmo procedimento trocando apenas a etapa de cálculo de p(t).

Resposta

t^{\prime}(0^\circ\mathrm{C})=0
t^{\prime}(25^\circ\mathrm{C})\approx 2{,}56
t^{\prime}(50^\circ\mathrm{C})\approx 11{,}56
t^{\prime}(75^\circ\mathrm{C})\approx 37{,}53
t^{\prime}(100^\circ\mathrm{C})=100

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