Problema 6.5: Escala Termométrica de Pressão de Vapor Suponha que usemos a pressão de vapor de equilíbrio da água como propriedade termométrica construindo uma escala de temperatura
. Em termos da temperatura Celsius
a pressão de vapor é:
Quais serão as temperaturas
correspondentes a
e
?
Quais serão as temperaturas
Passo 1
O enunciado pede: calcular as temperaturas da escala
correspondentes às temperaturas em Celsius
e
, quando a propriedade termométrica usada é a pressão de vapor de equilíbrio da água.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Foi dito que a propriedade termométrica é a pressão de vapor de equilíbrio da água.
- As temperaturas em Celsius para as quais se quer
são .
Observação importante (informação que falta): o enunciado NÃO forneceu explicitamente a relação matemática entre a pressão de vapor e a temperatura
(isto é, não foi dada uma fórmula
) nem especificou exatamente como a nova escala
deve ser definida a partir da pressão (por exemplo, se
é linear em
, ou alguma outra função). Sem essa relação/convenção não é possível obter valores numéricos únicos para
.
Passo 2
Definição do método e das hipóteses que vou usar (escolha necessária porque o enunciado não especificou):
- Hipótese de calibração da escala
: adoto a convenção usual de termometria prática de definir os pontos fixos tais que corresponde a e corresponde a , e suponho que a escala seja obtida por interpolação linear da propriedade medida (isto é, linear em relação à pressão de vapor). Essa é uma escolha natural e simples quando se “constrói” uma escala a partir de uma propriedade monotônica. - Assim a relação usada para transformar uma pressão de vapor
em será
onde
é a pressão de vapor saturada da água a
graus Celsius,
e
são os valores nos pontos fixos.
- Para obter
utilizarei a equação de Antoine (fórmula empírica muito usada para pressão de vapor de líquidos), adequada para água no intervalo 1–100 ºC. Esta escolha substitui a fórmula ausente no enunciado por uma expressão padrão de engenharia/termodinâmica.
Explicando a equação de Antoine (como funciona e o que significam as constantes):
onde:
-
é a pressão de vapor em (milímetros de mercúrio), -
é a temperatura em , -
são constantes empíricas para a substância (para a água existem tabelas de constantes em diferentes faixas de temperatura).
Vou usar os parâmetros usuais (válidos aproximadamente em 1–100 ºC):
Depois de obter
em
converto para pascal usando
.
Passo 3
Cálculo passo a passo das pressões de vapor
usando Antoine e conversão para pascal. Para cada temperatura
faço:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Resumo das pressões usadas, arredondadas razoavelmente)
Passo 4
Agora aplico a fórmula de calibração linear em
dada no Passo 2:
Calculo o denominador:
Cálculos ponto a ponto:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Interpretação final e comentário pedagógico rápido: a escala
construída dessa forma é fortemente não-linear em
(porque a pressão de vapor cresce muito mais rápido que linear com
); por isso notas como
e
correspondem a valores pequenos de
(próximos de
e
). Isso ilustra um ponto de termometria: escolher a propriedade termométrica e a maneira de mapear para uma escala influencia muito na resolução (sensibilidade) da escala em diferentes intervalos de temperatura.
Força aí — tente reproduzir esses cálculos na prova começando por escrever claramente qual hipótese de calibração está usando; se a prova der uma fórmula diferente para
, basta repetir o mesmo procedimento trocando apenas a etapa de cálculo de
.