Problema 7.9: Transformação a Volume Constante ( \hat{\mathbf{C}}_{\mathbf{V}}=20.8 \mathrm{~J} / \mathrm{K} \cdot \mathrm{mol} ) Um mol de um gás ideal, \hat{C}_{V}=20.8 \mathrm{~J} / \mathrm{K} \cdot \mathrm{mol}, é transformado a volume constante de 0^{\circ} \mathrm{C} para 75^{\circ} \mathrm{C}. Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens listados:
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Capacidade calorífica molar a volume constante: \hat{C}_{V}=20{,}8\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
  • Processo: transformação a volume constante de 0^\circ\mathrm{C} para 75^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas: calcular Q (calor trocado pelo sistema), W (trabalho), \Delta U (variação da energia interna) e \Delta H (variação da entalpia).

Passo 2

Primeiro lembro as fórmulas e o que cada símbolo significa:
  • n é o número de mols.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • \hat{C}_{V} é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}).
  • \hat{C}_{P} é a capacidade calorífica molar a pressão constante.
  • R é a constante dos gases ideais: R=8{,}314\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
Equações úteis para um gás ideal:
\Delta U = n\,\hat{C}_{V}\,\Delta T
\hat{C}_{P}=\hat{C}_{V}+R
\Delta H = n\,\hat{C}_{P}\,\Delta T
Sobre trabalho: o trabalho de expansão/compressão por pressão em processos quasistáticos é
W=\int P\,dV.
Num processo a volume constante tem-se dV=0\Rightarrow W=0. Isso simplifica bastante: \Delta U será igual ao calor trocado Q (pois não há trabalho de borda).

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin e calcular \Delta T.
  • Temperatura inicial: T_{i}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_{f}=75^\circ\mathrm{C}=348{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_{f}-T_{i}=348{,}15-273{,}15=75{,}0\\ \mathrm{K}.
Observação prática: diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são numericamente iguais, então \Delta T=75\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o trabalho W.
Como o processo é a volume constante, dV=0 em todo o percurso, logo
W=\int P\,dV=0.
Portanto o trabalho trocado é W=0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o calor Q trocado a volume constante.
Para processo a volume constante, o calor fornecido ao sistema é
Q = n\,\hat{C}_{V}\,\Delta T.
Substituindo n=1, \hat{C}_{V}=20{,}8\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}} e \Delta T=75\\ \mathrm{K}:
Q = 1\cdot 20{,}8\cdot 75 = 1560\\ \mathrm{J}.
Explicação didática: \hat{C}_{V} indica quantos joules são necessários para elevar 1 mol em 1\\ \mathrm{K} mantendo o volume constante; multiplicando por \Delta T e por n obtém-se o calor total.

Passo 6

Calcular a variação da energia interna \Delta U.
Pelo primeiro princípio da termodinâmica e pelas observações anteriores (ou diretamente pela fórmula), para processo a volume constante:
\Delta U = n\,\hat{C}_{V}\,\Delta T.
Já calculamos esse valor no passo anterior, então
\Delta U = 1560\\ \mathrm{J}.
Comentário: como W=0, toda a energia fornecida como calor aumenta a energia interna do gás.

Passo 7

Determinar \hat{C}_{P} para poder calcular \Delta H.
Para um gás ideal vale a relação de Mayer:
\hat{C}_{P}=\hat{C}_{V}+R.
Substituindo \hat{C}_{V}=20{,}8 e R=8{,}314:
\hat{C}_{P}=20{,}8+8{,}314=29{,}114\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}.

Passo 8

Calcular a variação da entalpia \Delta H.
Para gás ideal a entalpia depende só da temperatura e a sua variação é
\Delta H = n\,\hat{C}_{P}\,\Delta T.
Substituindo n=1, \hat{C}_{P}=29{,}114\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}} e \Delta T=75\\ \mathrm{K}:
\Delta H = 1\cdot 29{,}114\cdot 75 = 2183{,}55\\ \mathrm{J}.
Arredondando mantendo três algarismos significativos (compatível com \hat{C}_{V}=20{,}8): \Delta H\approx 2{,}18\times 10^{3}\\ \mathrm{J} ou \Delta H\approx 2184\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Verificação rápida de consistência:
  • W=0 faz com que Q=\Delta U, o que vimos: 1560\\ \mathrm{J}.
  • \Delta H=\Delta U + nR\Delta T. Calculando à parte:
\Delta U + nR\Delta T = 1560 + 1\cdot 8{,}314\cdot 75 = 1560 + 623{,}55 = 2183{,}55\\ \mathrm{J},
mesmo resultado de \Delta H — consistência confirmada.

Resposta

Q = 1560\\ \mathrm{J}
W = 0\\ \mathrm{J}
\Delta U = 1560\\ \mathrm{J}
\Delta H = 2183{,}6\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados