Problema 6.6: Escala Termométrica de Comprimento de Barra O comprimento de uma barra metálica é dado em termos da temperatura Celsius t por l=l_{0}\left(1+a t+b t^{2}\right), onde a e b são constantes. Uma escala de temperatura t^{\prime} é definida em termos do comprimento da barra metálica, tomando-se 100^{\circ} \mathrm{C} entre o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água. Encontre a relação entre t^{\prime} e t.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O comprimento da barra metálica, em função da temperatura Celsius t, é l = l_{0}\bigl(1 + a t + b t^{2}\bigr),onde l_{0}, a e b são constantes (com a e b dadas).
    • Foi definida uma nova escala de temperatura t' baseada no comprimento da barra, tomando-se “100°” entre o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água.
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a relação entre t' e t, ou seja, expressar t' em função de t.

Passo 2

Interpretação da definição da escala t'. Quando se diz que a nova escala toma “100°” entre os pontos de fusão e ebulição da água, isso significa que:
  • o ponto de fusão do gelo (temperatura Celsius t=0) corresponde a t'=0;
  • o ponto de ebulição da água (temperatura Celsius t=100) corresponde a t'=100.
Assim, a escala t' é proporcional ao comprimento da barra medido a partir do comprimento na fusão do gelo. Em outras palavras, t' varia linearmente com l, com:
t' = 100\cdot\frac{l - l(t=0)}{l(t=100) - l(t=0)}.
Aqui foi usada a ideia simples de escala linear: zero no comprimento a t=0 e cento no comprimento a t=100.

Passo 3

Calcular l nos pontos de referência usando a fórmula dada (vou escrever explicitamente que esses valores foram obtidos a partir da expressão do enunciado).
  • Para t=0:
    l(t=0)=l_{0}\bigl(1 + a\cdot 0 + b\cdot 0^{2}\bigr)=l_{0}.
  • Para t=100:
    l(t=100)=l_{0}\bigl(1 + a\cdot 100 + b\cdot 100^{2}\bigr)=l_{0}\bigl(1 + 100a + 10000b\bigr).
Esses dois comprimentos são os extremos usados para normalizar a escala t'.

Passo 4

Substituir l(t=0) e l(t=100) na expressão de t' obtida no Passo 2 e simplificar passo a passo.
A expressão inicial é
t' = 100\cdot\frac{l - l(t=0)}{l(t=100) - l(t=0)}.
Substituindo l(t=0)=l_{0} e l(t=100)=l_{0}\bigl(1 + 100a + 10000b\bigr), obtemos
t' = 100\cdot\frac{l - l_{0}}{l_{0}\bigl(1 + 100a + 10000b\bigr) - l_{0}}.
No denominador fatoramos l_{0}:
t' = 100\cdot\frac{l - l_{0}}{l_{0}\bigl(100a + 10000b\bigr)}.
Podemos simplificar cancelando l_{0} (assumindo l_{0}\neq 0, o que é óbvio fisicamente):
t' = 100\cdot\frac{\dfrac{l - l_{0}}{l_{0}}}{100a + 10000b}.

Passo 5

Expressar \dfrac{l - l_{0}}{l_{0}} em termos de t usando a relação dada l = l_{0}\bigl(1 + a t + b t^{2}\bigr).
Da expressão do comprimento,
\frac{l - l_{0}}{l_{0}} = a t + b t^{2}.
Substituindo isso em t' do Passo 4:
t' = 100\cdot\frac{a t + b t^{2}}{100a + 10000b}.
Agora simplificamos o fator 100 comum no denominador: 100a + 10000b = 100(a + 100b). Assim,
t' = 100\cdot\frac{a t + b t^{2}}{100\bigl(a + 100b\bigr)}.
Cancelando o 100 do numerador com o 100 do denominador:
t' = \frac{a t + b t^{2}}{a + 100 b}.
Essa é a relação direta de t' em termos de t.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas (dicas para a prova).
  • A relação encontrada
    t' = \frac{a t + b t^{2}}{a + 100 b}
    mostra que, mesmo que l seja uma função quadrática de t, a escala t' escolhida (linear em comprimento entre t=0 e t=100) resulta numa expressão racional (aqui, um polinômio de grau 2 em t dividido por constante), o que é perfeitamente manipulável.
  • Em muitos casos práticos b é pequeno (coeficiente do termo quadrático da dilatação térmica é pequeno). Se b for desprezível comparado a a, a fórmula reduz-se aproximadamente a
    t' \approx \frac{a t}{a} = t,
    isto é, as escalas coincidem a primeira ordem. Mas quando se quer precisão, usa-se a fórmula completa.
  • Se for necessário obter t em função de t' (inverter a relação), trata-se de resolver a equação quadrática
    b t^{2} + a t - (a + 100 b)\,t' = 0,
    que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara caso seja pedido.

Resposta

t'=\frac{a t + b t^{2}}{a + 100 b}

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