Problema 6.6: Escala Termométrica de Comprimento de Barra O comprimento de uma barra metálica é dado em termos da temperatura Celsius
por
, onde
e
são constantes. Uma escala de temperatura
é definida em termos do comprimento da barra metálica, tomando-se
entre o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água. Encontre a relação entre
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O comprimento da barra metálica, em função da temperatura Celsius
, é onde , e são constantes (com e dadas). - Foi definida uma nova escala de temperatura
baseada no comprimento da barra, tomando-se “100°” entre o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água.
- O comprimento da barra metálica, em função da temperatura Celsius
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar a relação entre
e , ou seja, expressar em função de .
- Encontrar a relação entre
Passo 2
Interpretação da definição da escala
. Quando se diz que a nova escala toma “100°” entre os pontos de fusão e ebulição da água, isso significa que:
- o ponto de fusão do gelo (temperatura Celsius
) corresponde a ; - o ponto de ebulição da água (temperatura Celsius
) corresponde a .
Assim, a escala
é proporcional ao comprimento da barra medido a partir do comprimento na fusão do gelo. Em outras palavras,
varia linearmente com
, com:
Aqui foi usada a ideia simples de escala linear: zero no comprimento a
e cento no comprimento a
.
Passo 3
Calcular
nos pontos de referência usando a fórmula dada (vou escrever explicitamente que esses valores foram obtidos a partir da expressão do enunciado).
-
Para
: -
Para
:
Esses dois comprimentos são os extremos usados para normalizar a escala
.
Passo 4
Substituir
e
na expressão de
obtida no Passo 2 e simplificar passo a passo.
A expressão inicial é
Substituindo
e
, obtemos
No denominador fatoramos
:
Podemos simplificar cancelando
(assumindo
, o que é óbvio fisicamente):
Passo 5
Expressar
em termos de
usando a relação dada
.
Da expressão do comprimento,
Substituindo isso em
do Passo 4:
Agora simplificamos o fator
comum no denominador:
. Assim,
Cancelando o
do numerador com o
do denominador:
Essa é a relação direta de
em termos de
.
Passo 6
Interpretação final e observações práticas (dicas para a prova).
-
A relação encontradamostra que, mesmo que
seja uma função quadrática de , a escala escolhida (linear em comprimento entre e ) resulta numa expressão racional (aqui, um polinômio de grau 2 em dividido por constante), o que é perfeitamente manipulável. -
Em muitos casos práticos
é pequeno (coeficiente do termo quadrático da dilatação térmica é pequeno). Se for desprezível comparado a , a fórmula reduz-se aproximadamente a isto é, as escalas coincidem a primeira ordem. Mas quando se quer precisão, usa-se a fórmula completa. -
Se for necessário obter
em função de (inverter a relação), trata-se de resolver a equação quadrática que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara caso seja pedido.