Em um problema uni-dimensional, considere uma partícula cuja função de onda é:
psi(x)=N exp (i p0 xhbar)raizx^2+a^2
onde a e p0 são constantes reais e N é um coeficiente de normalização
a) Determine N
b) A posição da partícula é medida. Qual é a probabilidade de encontrar um resultado entre -araiz3 e+araiz3 ?
c) Calcule o valor médio do momento da partícula, que tem psi(x) como autofunção

Passo 1

O problema propõe uma função de onda uni-dimensional
psi(x)=Nexpl(tfraci p0 xhbarr)raizx^2+a^2
com a e p0 constantes reais e N normalização. Precisamos achar (a) N usando a condição de normalização, (b) a probabilidade P(-tfracaraiz3<= x<=tfracaraiz3) e © o valor médio do momento lang<= prang<= via o operador -ihbar,d/dx.

Passo 2

Para determinar N, impomos
integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx=1
Como |psi|^2=|N|^2/(x^2+a^2), temos
|N|^2integral-infty^inftydxx^2+a^2=|N|^2pia=1
Logo
|N|^2=apiLongrightarrow N=raizapi

Passo 3

A probabilidade de encontrar x em [-a/raiz3,a/raiz3] é
P=integral-a/raiz3^a/raiz3|psi(x)|^2,dx=|N|^2integral-a/raiz3^a/raiz3dxx^2+a^2
Usando |N|^2=a/pi e
integraldxx^2+a^2=1aarctanxa,
obtemos
P=apicdot1al[arctanxar]-a/raiz3^a/raiz3 =1pil(2arctantfrac1raiz3r)=2picdotpi6=13

Passo 4

Para calcular lang<= prang<=, usamos
lang<= prang<==integralpsi^*(x)l(-ihbartfracddxr)psi(x),dx
Derivando psi e separando termos, surge
lang<= prang<= = p0|N|^2integral-infty^inftydxx^2+a^2 , +, ihbar|N|^2integral-infty^inftyx,dx(x^2+a^2)^3/2
O segundo termo é zero por ser integral de função ímpar. O primeiro é
p0,|N|^2pia=p0,apipia=p0

Resposta

N=\sqrt{a/\pi}, ;P\Bigl(-\tfrac{a}{\sqrt3}\le x\le\tfrac{a}{\sqrt3}\Bigr)=\tfrac{1}{3}, ;\langle p\rangle=p_{0}

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