Considere uma partícula de massa m sujeita ao potencial:
r V(x)=0, se 0a e x<0
H são autoestados do Hamiltoniano En=n^2 pi^2 hbar^2 / 2 m a^2 do sistema, e seus autovalores são t=0. O estado da partícula no instante |psi(0)rang<==a1|varphi1rang<=+a2|varphi2rang<=+a3|varphi3rang<=+a4|varphi4rang<= é:
|psi(0)rang<=
a) Qual é a probabilidade, quando a energia da partícula no estado 3 pi^2 hbar^2 / m a^2 é medida, de encontrar um valor menor de que |psi(0)rang<= ?
b) Qual é o valor médio e qual é o desvio médio quadrático da energia da partícula no estado |psi(t)rang<= ?
c) Calcule o vetor de estado t no instante t=0. Os resultados encontrados nos ítens a) e b) no instante t permanecem válidos em um tempo arbitrário 8 pi^2 hbar^2 / m a^2 ?
d) Quando a energia é medida, o resultado é encontrado. Depois da medida, qual é o estado do sistema? Qual é o resultado se a energia é medida novamente?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito de largura a, cujos autoestados |ϕ_n〉 têm energias E_n = n2/(2ma2), e o estado inicial é |ψ(0)〉 = a₁|ϕ₁〉 + a₂|ϕ₂〉 + a₃|ϕ₃〉 + a₄|ϕ₄〉. Vamos precisar usar a interpretação estatística da mecânica quântica (probabilidades de medição), o cálculo de valor médio e variância de energia, evolução temporal de autovetores e o pós-colapso de medida.

Passo 2

Para a probabilidade de medir energia menor que 3π2/(ma^2), comparamos E_n = n2/(2ma2) < 3π2/(ma^2). Resolvendo n^2/2 < 3 ⇒ n^2 < 6, logo só n=1,2 satisfazem.
A probabilidade pedida é a soma das probabilidades de encontrar n=1 ou n=2, isto é, P(E<3π2/(ma^2)) = |a₁|^2 + |a₂|^2.

Passo 3

O valor médio de energia é ⟨E⟩ = Σ_{n=1}^4 |a_n|^2 E_n e o desvio quadrático é ΔE = sqrt(⟨E^2⟩ − ⟨E⟩^2), onde ⟨E^2⟩ = Σ_{n=1}^4 |a_n|^2 E_n^2.

Passo 4

O vetor de estado em tempo t é dado por |ψ(t)〉 = Σ_{n=1}^4 a_n e^(−iE_n t/ħ) |ϕ_n〉. Como as probabilidades |a_n|^2 são inalteradas pelo fator de fase, as respostas dos itens a) e b) não mudam com o tempo.

Passo 5

Se na medida da energia obtivemos 8π2/(ma^2), igual a E_4 (pois 4^2/2=8), o estado colapsa para |ϕ_4〉. Numa medida subsequente de energia teremos certeza de obter o mesmo valor (probabilidade 1).

Resposta

a) P(E < 3π2/(ma^2)) = |a₁|^2 + |a₂|^2
b) ⟨E⟩ = Σ_{n=1}^4 |a_n|^2 E_n, ΔE = √(Σ_{n=1}^4 |a_n|^2 E_n^2 − ⟨E⟩^2)
c) |ψ(t)〉 = Σ_{n=1}^4 a_n e^(−iE_n t/ħ)|ϕ_n〉; as respostas de a) e b) são invariantes no tempo
d) após medir E = 8π2/(ma^2) o sistema fica em |ϕ_4〉; medindo de novo a energia obtém-se o mesmo valor com probabilidade 1

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