Seja
a corrente de probabilidade associada a função de onda
que descreve o estado de uma partícula de massa
.
a) Mostre que:
onde
é o valor médio do momentum
b) Considere o operador
definido por
. As três componentes de
são operadores Hermitianos? Estabeleça a relação:
a) Mostre que:
b) Considere o operador
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a corrente de probabilidade
de uma partícula quântica com o valor médio do momentum
e depois com o momento angular
. Vamos usar a expressão canônica de
e as definições de operadores de momentum e posição.
Passo 2
Vamos lembrar que a corrente de probabilidade é dada por
Também o valor médio do momentum é
Passo 3
Agora calculamos
No segundo termo fazemos integração por partes em
, descartando termos de contorno (
em infinito). Isso dá
logo
Passo 4
juntando tudo obtemos
Passo 5
O operador momento angular é definido por
, e cada componente
é hermitiana porque é combinação antissimétrica de operadores hermitianos
e
.
Passo 6
Finalmente fazemos o mesmo tipo de conta para o momento angular:
e substituímos
pela sua definição. Seguindo o mesmo passo de integração por partes, chega-se a
Resposta
a) Foi provado que
. b) As componentes de
são hermitianas, e também se obtém
.