Seja J(r) a corrente de probabilidade associada a função de onda psi(r) que descreve o estado de uma partícula de massa m.
a) Mostre que:
m integral d^3 r J(r)=lang<=Prang<=
onde lang<=Prang<= é o valor médio do momentum
b) Considere o operador L definido por L=R times P. As três componentes de L são operadores Hermitianos? Estabeleça a relação:
m integral d^3 r[r times J(r)]=lang<=Lrang<=

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a corrente de probabilidade vec J(vec r) de uma partícula quântica com o valor médio do momentum lang<=vec Prang<= e depois com o momento angular lang<=vec Lrang<=. Vamos usar a expressão canônica de vec J e as definições de operadores de momentum e posição.

Passo 2

Vamos lembrar que a corrente de probabilidade é dada por
vec J(vec r)=hbar2m il(psi^*nablapsi-psinablapsi^*r)
Também o valor médio do momentum é
lang<=vec Prang<==integral d^3r,psi^*(vec r)l(-ihbarnablar)psi(vec r)

Passo 3

Agora calculamos
m!integral d^3r,vec J(vec r) = mhbar2m i!integral d^3rl(psi^*nablapsi-psinablapsi^*r) =hbar2i!integral d^3rl(psi^*nablapsi-psinablapsi^*r)
No segundo termo fazemos integração por partes em integralpsinablapsi^*, descartando termos de contorno ( psito0 em infinito). Isso dá
integralpsinablapsi^*=-integralpsi^*nablapsi
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Passo 4

juntando tudo obtemos
m!integral d^3r,vec J(vec r) =hbar2il(1+1r)!integral d^3r,psi^*nablapsi =hbarintegral d^3r,psi^*!,1over inablapsi =integral d^3r,psi^*l(-ihbarnablar)psi =lang<=vec Prang<=

Passo 5

O operador momento angular é definido por vec L=vec Rtimesvec P, e cada componente
Li=varepsilonijkXjPk
é hermitiana porque é combinação antissimétrica de operadores hermitianos Xj e Pk.

Passo 6

Finalmente fazemos o mesmo tipo de conta para o momento angular:
m!integral d^3r,[vec rtimesvec J(vec r)] =m,varepsilonijkintegral d^3r,rjJk(vec r)
e substituímos Jk pela sua definição. Seguindo o mesmo passo de integração por partes, chega-se a
m!integral d^3r,[vec rtimesvec J(vec r)] =integral d^3r,psi^*(vec r)l(vec rtimes(-ihbarnabla)r)psi(vec r) =lang<=vec Lrang<=

Resposta

a) Foi provado que mintegral d^3r,vec J(vec r)=lang<=vec Prang<=. b) As componentes de vec L=vec Rtimesvec P são hermitianas, e também se obtém mintegral d^3r,[vec rtimesvec J(vec r)]=lang<=vec Lrang<=.

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