Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
f(t)=e^-4 t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=e^{-4t}. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e precisaremos usar a definição integral dessa transformação.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Substituindo f(t)=e^{-4t}, montamos
integral0^inftye^-4t,e^-st,dt=integral0^inftye^-(s+4)t,dt

Passo 3

Para calcular essa integral, achamos um antiderivado de e^{-(s+4)t}:
integral e^-(s+4)t,dt=-1s+4e^-(s+4)t
Para que a integral imprópria convirja, precisamos de Re(s+4)>0 (ou seja Re(s)>-4), pois assim
limttoinftye^-(s+4)t=0
Avaliando de 0 a ∞:
[-1s+4e^-(s+4)t]0^infty=0-l(-1s+4r)=1s+4

Resposta

1s+4, Re(s)>-4

Exercícios relacionados