Resolva as inequações, expressando a solução em forma de intervalo (quando possível).
x(3-x)^2<2

Passo 1

Primeiro, resumindo o que temos: precisamos resolver a inequação racional x(3-x)^2<2. O conteúdo é inequação racional e vamos precisar determinar o domínio, colocar tudo em uma única fração, fatorar o numerador e analisar o sinal da expressão.

Passo 2

Para juntar tudo em uma única fração, subtraímos 2 de ambos os lados:
x(3-x)^2 - 2 < 0
Em seguida, tracionamos o mesmo denominador:
x - 2(3-x)^2(3-x)^2 < 0

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador. Primeiro, expandimos
(3-x)^2 = x^2 - 6x + 9
Então
x - 2(x^2 - 6x + 9) = x - 2x^2 +12x -18 = -2x^2 +13x -18

Passo 4

Precisamos achar as raízes do numerador
-2x^2 + 13x - 18 = 0
Calculando o discriminante:
De
As raízes são
x = 13 pm 52cdot 2 = 2 e 92

Passo 5

Podemos então fatorar
-2x^2 +13x -18 = -2,(x-2),(x-tfrac92)
O denominador (3-x)^2 é sempre positivo para todo xneq 3. Logo o sinal da fração é o mesmo do numerador, multiplicado por -2.

Passo 6

A inequação x(3-x)^2<2 equivale a
-2,(x-2),(x-tfrac92) < 0
Dividindo por -2, que inverte o sinal, obtemos
(x-2),(x-tfrac92) > 0
Esse produto é positivo quando ambos fatores têm o mesmo sinal, ou seja, x<2 ou x>tfrac92. Note que x=2 e x=tfrac92 não satisfazem (<0 torna-se =0) e x=3 nem está no domínio.

Passo 7

Juntando tudo, a solução da inequação é
(-infty,2)cup(tfrac92,infty)

Resposta

(-\infty,2)\cup(\tfrac{9}{2},\infty)

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