Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
f(t)=e^-5 t.

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a função f(t) = e^-5t. O conteúdo é transformada de Laplace, e vamos usar a definição que envolve uma integral imprópria e a condição de convergência.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st,f(t),dt
Aqui, precisamos que essa integral convirja, o que implica condições sobre o parâmetro s.

Passo 3

Substituindo f(t)=e^-5t na definição, obtemos:
integral0^infty e^-st,e^-5t,dt = integral0^infty e^-(s+5)t,dt

Passo 4

Para calcular essa integral imprópria, usamos a fórmula genérica
integral0^infty e^-a t,dt = 1a, Re(a)>0
Aqui a = s+5, então precisamos de Re(s+5)>0, isto é Re(s)>-5. Aplicando essa fórmula, a integral torna-se 1/(s+5).

Resposta

1s+5, com região de convergência Re(s)>-5.

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