Problema 4: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(t) $ usando a definição. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = \sin(t) $, então a transformada de Laplace será:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral que aparece frequentemente em transformadas de Laplace e pode ser resolvida reconhecendo uma fórmula padrão ou usando técnicas de integração por partes.
Passo 4
Existe uma fórmula padrão para a transformada de Laplace de $ \sin(at) $:
No nosso caso, $ a = 1 $, então substituindo na fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = \sin(t) $ é $ \frac{1}{s^2 + 1} $.