Problema 4: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=sen(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(t) $ usando a definição. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = \sin(t) $, então a transformada de Laplace será:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^+infty e^-st sin(t) , dt
Essa é uma integral que aparece frequentemente em transformadas de Laplace e pode ser resolvida reconhecendo uma fórmula padrão ou usando técnicas de integração por partes.

Passo 4

Existe uma fórmula padrão para a transformada de Laplace de $ \sin(at) $:
sin(at)
No nosso caso, $ a = 1 $, então substituindo na fórmula:
Lsin(at) = as^2 + a^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) = \sin(t) $ é $ \frac{1}{s^2 + 1} $.

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