Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 3! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo
para o domínio da frequência
. Para isso, vamos precisar aplicar a definição básica da transformada de Laplace e fazer algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
, então vamos substituir isso na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar as exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
de 0 a
é
, desde que
. No nosso caso,
, então temos:
Mas para isso ser válido, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Portanto, a transformada de Laplace de
existe quando
e é dada por:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: