Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
f(t)=e^-t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 3! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = e^-t usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo t para o domínio da frequência s . Para isso, vamos precisar aplicar a definição básica da transformada de Laplace e fazer algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, f(t) = e^-t , então vamos substituir isso na fórmula:
Le^-t = integral0^+infty e^-st e^-t , dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar as exponenciais:
e^-st cdot e^-t = e^-(s + 1)t
Então, a integral fica:
Le^-t = integral0^+infty e^-(s + 1)t , dt

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de e^-at de 0 a +infty é 1a , desde que Re(a) > 0 . No nosso caso, a = s + 1 , então temos:
integral0^+infty e^-(s + 1)t , dt = 1s + 1
Mas para isso ser válido, precisamos que s + 1 > 0 , ou seja, s > -1 .

Passo 5

Portanto, a transformada de Laplace de e^-t existe quando s > -1 e é dada por:
Le^-t = 1s + 1

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = e^-t é:
Le^-t = 1s + 1, para s > -1

Exercícios relacionados