Problema 1 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=1.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=1 usando a definição. Vamos precisar lembrar a fórmula integral da transformada de Laplace e verificar para quais valores de s essa integral converge.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s) = integral0^infty e^-st ,f(t),dt

Passo 3

Substituindo f(t)=1 na definição, temos
L1(s) = integral0^infty e^-st,dt
Para calcular essa integral, primeiro consideramos o truncamento em A>0:
integral0^A e^-st,dt = l[-1se^-str]0^A = -1se^-sA + 1s

Passo 4

Agora tomamos o limite quando Atoinfty. Se Re(s)>0, então e^-sAto0 e
L1(s) = limAtoinftyl(1s - 1se^-sAr) = 1s
A condição Re(s)>0 garante a convergência da integral.

Resposta

L1(s)=1s, Re(s)>0

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