Resolva as inequações, expressando a solução em forma de intervalo (quando possível).
x|x+1|>0 e x|x+1|<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas inequações envolvendo valor absoluto: x|x+1|>0 e x|x+1|<0, expressando a solução em forma de intervalo. O conteúdo aqui envolve estudo de sinais de expressões com valor absoluto.

Passo 2

Para lidar com |x+1|, separemos em duas regiões: 1) x+1>=0 x,>=-1 e 2) x+1<0 x< -1. Em cada região, substituímos |x+1| por x+1 ou -(x+1) e resolvemos as inequações.

Passo 3

Vamos resolver primeiro x|x+1|>0.
Região 1: x>= -1 |x+1|=x+1. A inequação fica
x(x+1)>0
É um produto que muda de sinal nas raízes x=-1 e x=0. O produto é positivo para x<-1 e x>0, mas na nossa região só vale x>0.

Passo 4

Região 2: x< -1 |x+1|=-(x+1). A inequação vira
-x(x+1)>0 ;⟺; x(x+1)<0
De novo, o produto é negativo só em -1, mas isto não se sobrepõe a x< -1. Logo, não há solução nesta faixa.

Passo 5

Concluímos que
x: x|x+1|>0=x>0=(0,infty)
Agora encaramos x|x+1|<0.

Passo 6

Região 1: x>=-1 |x+1|=x+1. A inequação é
x(x+1)<0,
que se satisfaz para -1. Como estamos em x>=-1, temos exatamente -1.

Passo 7

Região 2: x< -1 |x+1|=-(x+1). A inequação é
-x(x+1)<0 ;⟺; x(x+1)>0
Aqui a condição x< -1 já garante x(x+1)>0. Logo toda a faixa x< -1 funciona.

Passo 8

Portanto
x: x|x+1|<0=(-infty,-1)cup(-1,0)

Passo 9

Organizando os resultados em intervalos, temos as soluções pedidas.

Resposta

Para x|x+1|>0:
(0,\infty)
Para x|x+1|<0:
(-\infty,-1)\cup(-1,0)

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