Problema 2: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{2t} $ usando a definição. Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas super úteis em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada pela seguinte integral:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função $ f(t) = e^{2t} $.
Passo 3
Substituindo $ f(t) = e^{2t} $ na definição, temos:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como estamos multiplicando exponenciais com a mesma base ($ e $), podemos somar os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora precisamos resolver essa integral. A integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{e^{kt}}{k} $, desde que $ k \neq 0 $. No nosso caso, $ k = 2 - s $. Então, integrando, temos:
Passo 5
Para que essa integral converja, o expoente $ (2 - s) $ precisa ser negativo, ou seja, $ 2 - s < 0 $, o que implica $ s > 2 $. Isso garante que $ e^{(2 - s)t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito.
Então, avaliando os limites:
Podemos simplificar isso multiplicando numerador e denominador por -1:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{2t} $ é: