Problema 2: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=e^3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{3t} $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Transformadas, especificamente usando a definição da Transformada de Laplace. Para resolver, vamos usar a definição básica da transformada e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = e^{3t} $. Então, substituindo na fórmula:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
e^-st cdot e^3t = e^(3 - s)t
Então, a integral fica:
integral0^infty e^(3 - s)t , dt

Passo 4

Para essa integral convergir, precisamos que o expoente seja negativo, ou seja, que $ 3 - s < 0 $. Isso significa que $ s > 3 $. Com essa condição, podemos calcular a integral:
3 - s < 0
Aplicando isso na nossa integral:
s > 3

Passo 5

Agora, avaliamos os limites. Como $ s > 3 $, temos que $ 3 - s $ é negativo, então $ e^{(3 - s)t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito. Avaliando:
s > 3
Simplificando:
3 - s

Resposta

A Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{3t} $ é $ \mathcal{L}{e^{3t}} = \frac{1}{s - 3} $, válida para $ s > 3 $.

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