Problema 2: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{3t} $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Transformadas, especificamente usando a definição da Transformada de Laplace. Para resolver, vamos usar a definição básica da transformada e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = e^{3t} $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para essa integral convergir, precisamos que o expoente seja negativo, ou seja, que $ 3 - s < 0 $. Isso significa que $ s > 3 $. Com essa condição, podemos calcular a integral:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Agora, avaliamos os limites. Como $ s > 3 $, temos que $ 3 - s $ é negativo, então $ e^{(3 - s)t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito. Avaliando:
Simplificando:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{3t} $ é $ \mathcal{L}{e^{3t}} = \frac{1}{s - 3} $, válida para $ s > 3 $.