Problema 2: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=e^4 t.

Passo 1

A função que vamos transformar é f(t)=e^{4t}. O conteúdo da matéria é a transformada de Laplace, e para resolver precisamos usar sua definição via integral imprópria e analisar a convergência.

Passo 2

Pela definição de Laplace temos a integral
Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt
Substituindo f(t)=e^{4t} obtemos
Le^4t=integral0^infty e^-ste^4t,dt=integral0^infty e^-(s-4)t,dt

Passo 3

Para que a integral integral0^infty e^-(s-4)tdt convirja, precisamos que a parte real de s-4 seja positiva, ou seja Re(s)>4. Sabendo disso, podemos usar a fórmula padrão

Passo 4

integral0^infty e^-a t,dt=1a,Re(a)>0
Aplicando com a=s-4 fica
integral0^infty e^-(s-4)t,dt=1s-4
e concluímos o valor da transformada.

Resposta

A transformada de Laplace é 1s-4 com região de convergência Re(s)>4.

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