Problema 4: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 4 que pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(3t) $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e alguns conhecimentos básicos de cálculo, como integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa e $ t $ representa o tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(t) = \sin(3t) $. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A integral de $ e^{-st} \sin(bt) $ é conhecida e é dada por:
Onde $ b $ é uma constante.
Passo 5
No nosso caso, $ b = 3 $. Então, substituindo esse valor na fórmula, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(3t) $ é: