Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cos(t) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender essa definição e aplicar um pouco de cálculo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ em uma função de uma nova variável $ s $. A fórmula da transformada de Laplace é:
Onde:
- $ \mathcal{L}{f(t)} $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.
- $ s $ é uma variável complexa.
- A integral vai de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(t) = \cos(t) $. Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, precisamos lembrar de uma integral padrão do cálculo que combina exponenciais e funções trigonométricas. A integral que vamos usar é:
No nosso caso, $ a = 1 $, já que temos $ \cos(t) $.
Passo 5
Aplicando essa integral padrão ao nosso caso específico, substituímos $ a = 1 $:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ \cos(t) $ é: