Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=cos (t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cos(t) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender essa definição e aplicar um pouco de cálculo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ em uma função de uma nova variável $ s $. A fórmula da transformada de Laplace é:
f(t)
Onde:
  • $ \mathcal{L}{f(t)} $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.
  • $ s $ é uma variável complexa.
  • A integral vai de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(t) = \cos(t) $. Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:
f(t) = cos(t)

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar de uma integral padrão do cálculo que combina exponenciais e funções trigonométricas. A integral que vamos usar é:
integral e^-st cos(at) , dt = ss^2 + a^2
No nosso caso, $ a = 1 $, já que temos $ \cos(t) $.

Passo 5

Aplicando essa integral padrão ao nosso caso específico, substituímos $ a = 1 $:
a = 1

Resposta

A transformada de Laplace da função $ \cos(t) $ é:
cos(t)

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