Problema 4: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede pra gente usar a definição da transformada e encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(4t) $. Para isso, vamos precisar lembrar como se define a transformada de Laplace e aplicar essa definição na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = \sin(4t) $, então a transformada de Laplace vai ser:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{-st} \sin(4t) $ pode ser resolvida usando uma fórmula padrão para integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A fórmula é:
Aqui, no nosso caso, $ a = -s $ e $ b = 4 $. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos avaliar essa expressão nos limites de $ t $ indo para o infinito e em $ t = 0 $:
-
Quando $ t \to \infty $:O termo $ e^{-st} $ tende a 0, já que $ s > 0 $. Portanto, toda a expressão no limite infinito é 0.
-
Quando $ t = 0 $:Substituindo na expressão, temos:
Então, a integral fica:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ \sin(4t) $ é: