Problema 4: Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=sen(4 t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede pra gente usar a definição da transformada e encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin(4t) $. Para isso, vamos precisar lembrar como se define a transformada de Laplace e aplicar essa definição na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, $ f(t) = \sin(4t) $, então a transformada de Laplace vai ser:
f(t) = sin(4t)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{-st} \sin(4t) $ pode ser resolvida usando uma fórmula padrão para integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A fórmula é:
e^-st sin(4t)
Aqui, no nosso caso, $ a = -s $ e $ b = 4 $. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
integral e^at sin(bt) , dt = e^at (a sin(bt) - b cos(bt))a^2 + b^2 + C

Passo 4

Vamos avaliar essa expressão nos limites de $ t $ indo para o infinito e em $ t = 0 $:
  1. Quando $ t \to \infty $:
    O termo $ e^{-st} $ tende a 0, já que $ s > 0 $. Portanto, toda a expressão no limite infinito é 0.
  2. Quando $ t = 0 $:
    Substituindo na expressão, temos:
    t
Então, a integral fica:
t = 0

Resposta

A transformada de Laplace da função $ \sin(4t) $ é:
sin(4t)

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